Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 45 / Задание 788

ГДЗ: Упражнение 788 - § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 236, 238, 239
Глава: Глава 8
Параграф: § 45 - Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

788 упражнение:

Найти производную функции (787–792).

1) \( x^{-2} \)

Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = -2 \).

  • Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^{-2} \):
    \( f'(x) = (x^{-2})' = (-2) \cdot x^{-2-1} \).
  • Шаг 2: Упростим степень:
    \( f'(x) = -2 x^{-3} \).
  • Шаг 3: Представим в виде дроби (необязательно, но желательно):
    \( f'(x) = - \frac{2}{x^3} \).

    • Ответ: \( -2 x^{-3} \) или \( - \frac{2}{x^3} \)

    2) \( x^{-3} \)

    Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = -3 \).

  • Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^{-3} \):
    \( f'(x) = (x^{-3})' = (-3) \cdot x^{-3-1} \).
  • Шаг 2: Упростим степень:
    \( f'(x) = -3 x^{-4} \).
  • Шаг 3: Представим в виде дроби (необязательно, но желательно):
    \( f'(x) = - \frac{3}{x^4} \).

    • Ответ: \( -3 x^{-4} \) или \( - \frac{3}{x^4} \)

    3) \( 3x^{-4} \)

    Используем формулу производной произведения функции на константу \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \) и производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( c = 3 \) и \( r = -4 \).

  • Шаг 1: Вынесем константу и найдем производную \( x^{-4} \):
    \( f'(x) = (3x^{-4})' = 3 \cdot (x^{-4})' = 3 \cdot (-4) \cdot x^{-4-1} \).
  • Шаг 2: Выполним умножение и упростим степень:
    \( f'(x) = -12 x^{-5} \).
  • Шаг 3: Представим в виде дроби:
    \( f'(x) = - \frac{12}{x^5} \).

    • Ответ: \( -12 x^{-5} \) или \( - \frac{12}{x^5} \)

    4) \( x^{-7} \)

    Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = -7 \).

  • Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^{-7} \):
    \( f'(x) = (x^{-7})' = (-7) \cdot x^{-7-1} \).
  • Шаг 2: Упростим степень:
    \( f'(x) = -7 x^{-8} \).
  • Шаг 3: Представим в виде дроби:
    \( f'(x) = - \frac{7}{x^8} \).

    • Ответ: \( -7 x^{-8} \) или \( - \frac{7}{x^8} \)

    Что применять при решении

    Производная степенной функции
    Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
    \( (x^r)' = r x^{r-1} \)
    Производная сложной функции
    Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
    \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
    Производная суммы/разности функций
    Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
    \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
    Производная произведения функции на константу
    Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
    \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 45

    787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.