Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 45 / Задание 790

ГДЗ: Упражнение 790 - § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 236, 238, 239
Глава: Глава 8
Параграф: § 45 - Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

790 упражнение:

Найти производную функции (787–792).

1) \( \frac{1}{x^5} \)

Внимание: Задание №1 в упр. 790 совпадает с заданием №1 в упр. 789. Решение повторяется. Сначала представим функцию в виде степени с отрицательным показателем: \( f(x) = \frac{1}{x^5} = x^{-5} \). Теперь используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = -5 \).

  • Шаг 1: Найдем производную \( x^{-5} \):
    \( f'(x) = (x^{-5})' = (-5) \cdot x^{-5-1} \).
  • Шаг 2: Упростим степень:
    \( f'(x) = -5 x^{-6} \).
  • Шаг 3: Представим в виде дроби:
    \( f'(x) = - \frac{5}{x^6} \).

    • Ответ: \( -5 x^{-6} \) или \( - \frac{5}{x^6} \)

    2) \( \frac{1}{x^9} \)

    Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = \frac{1}{x^9} = x^{-9} \). Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = -9 \).

  • Шаг 1: Найдем производную \( x^{-9} \):
    \( f'(x) = (x^{-9})' = (-9) \cdot x^{-9-1} \).
  • Шаг 2: Упростим степень:
    \( f'(x) = -9 x^{-10} \).
  • Шаг 3: Представим в виде дроби:
    \( f'(x) = - \frac{9}{x^{10}} \).

    • Ответ: \( -9 x^{-10} \) или \( - \frac{9}{x^{10}} \)

    3) \( \sqrt[4]{x} \)

    Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}} \). Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = \frac{1}{4} \).

  • Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^{\frac{1}{4}} \):
    \( f'(x) = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{4} - 1} \).
  • Шаг 2: Упростим степень: \( \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4} \).
    \( f'(x) = \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \).
  • Шаг 3: Представим в виде корня:
    \( f'(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^3}} \).

    • Ответ: \( \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \) или \( \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^3}} \)

    4) \( \sqrt[3]{x^2} \)

    Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}} \). Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = \frac{2}{3} \).

  • Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^{\frac{2}{3}} \):
    \( f'(x) = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} - 1} \).
  • Шаг 2: Упростим степень: \( \frac{2}{3} - 1 = - \frac{1}{3} \).
    \( f'(x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} \).
  • Шаг 3: Представим в виде корня:
    \( f'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \).

    • Ответ: \( \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} \) или \( \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \)

    5) \( \frac{1}{\sqrt{x}} \)

    Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{- \frac{1}{2}} \). Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = - \frac{1}{2} \).

  • Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^{- \frac{1}{2}} \):
    \( f'(x) = (x^{- \frac{1}{2}})' = (- \frac{1}{2}) \cdot x^{- \frac{1}{2} - 1} \).
  • Шаг 2: Упростим степень: \( - \frac{1}{2} - 1 = - \frac{3}{2} \).
    \( f'(x) = - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \).
  • Шаг 3: Представим в виде корня:
    \( f'(x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{2 \sqrt{x^3}} \).

    • Ответ: \( - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \) или \( - \frac{1}{2 \sqrt{x^3}} \)

    6) \( \frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} \)

    Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} = \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} = x^{- \frac{4}{3}} \). Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = - \frac{4}{3} \).

  • Шаг 1: Применим формулу к \( f(x) = x^{- \frac{4}{3}} \):
    \( f'(x) = (x^{- \frac{4}{3}})' = (- \frac{4}{3}) \cdot x^{- \frac{4}{3} - 1} \).
  • Шаг 2: Упростим степень: \( - \frac{4}{3} - 1 = - \frac{7}{3} \).
    \( f'(x) = - \frac{4}{3} x^{- \frac{7}{3}} \).
  • Шаг 3: Представим в виде корня:
    \( f'(x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}} = - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^7}} \).

    • Ответ: \( - \frac{4}{3} x^{- \frac{7}{3}} \) или \( - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^7}} \)

    Что применять при решении

    Производная степенной функции
    Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
    \( (x^r)' = r x^{r-1} \)
    Производная сложной функции
    Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
    \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
    Производная суммы/разности функций
    Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
    \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
    Производная произведения функции на константу
    Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
    \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 45

    787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.