ГДЗ: Упражнение 800 - § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

На рисунке 108 а) изображен график функции \( y = f(x) \), а на рисунке 108 б) — график функции \( y = g(x) \), являющейся ее производной \( g(x) = f'(x) \).

• График — парабола. Вершина параболы \( (x_в, y_в) \) находится в точке \( (0, -2) \).
• Общая формула параболы с вершиной в \( (x_в, y_в) \): \( y = a(x - x_в)^2 + y_в \).
• Подставляем вершину \( (0, -2) \): \( f(x) = a(x - 0)^2 - 2 = a x^2 - 2 \).
• Найдем коэффициент \( a \) по другой точке. Парабола проходит через точки \( (1, -1) \) и \( (-1, -1) \). Подставим \( (1, -1) \):
  \( -1 = a (1)^2 - 2 \implies -1 = a - 2 \implies a = 1 \).

Формула функции: \( \mathbf{f(x) = x^2 - 2} \).

• Находим производную от \( f(x) \):
  \( f'(x) = (x^2 - 2)' = (x^2)' - (2)' = 2x - 0 = 2x \).

Формула производной: \( \mathbf{g(x) = 2x} \).

• График \( y = 2x \) — прямая, проходящая через \( (0, 0) \).
• Проверим точки: \( (1, 2) \) и \( (-1, -2) \). График на рис. 108б проходит через эти точки.

Ответ: Функция \( f(x) = x^2 - 2 \) и ее производная \( f'(x) = 2x \)