Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 45 / Задание 794

ГДЗ: Упражнение 794 - § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 236, 238, 239
Глава: Глава 8
Параграф: § 45 - Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

794 упражнение:

Построить график функции \( y = x^4 \) и график функции, являющейся её производной.

1)

Шаг 1: Находим производную функции \( y = x^4 \):
Производная находится по формуле \( (x^r)' = r x^{r-1} \):
\( y' = (x^4)' = 4 x^{4-1} = 4 x^3 \).

  • Функция: \( y = x^4 \). Это четная функция, график — парабола 4-го порядка, симметричная относительно оси \( Oy \), с вершиной в точке \( (0, 0) \).
  • Производная функция: \( y' = 4 x^3 \). Это нечетная функция, график — кубическая парабола, проходящая через начало координат.

    • Шаг 2: Строим графики.

    • График \( y = x^4 \): проходит через точки \( (0, 0) \), \( (1, 1) \), \( (-1, 1) \), \( (2, 16) \), \( (-2, 16) \). График более "плоский" вблизи \( (0, 0) \) по сравнению с \( y=x^2 \).
    • График \( y' = 4 x^3 \): проходит через точки \( (0, 0) \), \( (1, 4) \), \( (-1, -4) \).

    Пояснение:
    Для \( x < 0 \), \( y = x^4 \) убывает, и \( y' = 4x^3 \) отрицательна. При \( x \to 0 \), \( y' \to 0 \), что соответствует горизонтальной касательной в вершине параболы.
    Для \( x > 0 \), \( y = x^4 \) возрастает, и \( y' = 4x^3 \) положительна.

    Что применять при решении

    Производная степенной функции
    Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
    \( (x^r)' = r x^{r-1} \)
    Производная сложной функции
    Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
    \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
    Производная суммы/разности функций
    Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
    \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
    Производная произведения функции на константу
    Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
    \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 45

    787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.