Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 45 / Задание 791

ГДЗ: Упражнение 791 - § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 236, 238, 239
Глава: Глава 8
Параграф: § 45 - Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

791 упражнение:

Найти производную функции (787–792).

1) \( (4x - 3)^2 \)

Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \), где внешняя функция \( f(u) = u^2 \) и внутренняя \( g(x) = 4x - 3 \).

  • Шаг 1: Найдем производную внешней функции по \( u \):
    \( f'(u) = (u^2)' = 2u \).
  • Шаг 2: Найдем производную внутренней функции по \( x \):
    \( g'(x) = (4x - 3)' = (4x)' - (3)' = 4 - 0 = 4 \).
  • Шаг 3: Подставим \( g(x) \) в \( f'(u) \) и умножим на \( g'(x) \):
    \( f'(x) = 2(4x - 3) \cdot 4 \).
  • Шаг 4: Упростим:
    \( f'(x) = 8(4x - 3) = 32x - 24 \).

    • Ответ: \( 8(4x - 3) \) или \( 32x - 24 \)

    2) \( (5x + 2)^4 \)

    Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \), где внешняя функция \( f(u) = u^4 \) и внутренняя \( g(x) = 5x + 2 \).

  • Шаг 1: Найдем производную внешней функции по \( u \):
    \( f'(u) = (u^4)' = 4u^3 \).
  • Шаг 2: Найдем производную внутренней функции по \( x \):
    \( g'(x) = (5x + 2)' = 5 \).
  • Шаг 3: Подставим \( g(x) \) в \( f'(u) \) и умножим на \( g'(x) \):
    \( f'(x) = 4(5x + 2)^3 \cdot 5 \).
  • Шаг 4: Упростим:
    \( f'(x) = 20(5x + 2)^3 \).

    • Ответ: \( 20(5x + 2)^3 \)

    3) \( (1 - 2x)^{-6} \)

    Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \), где внешняя функция \( f(u) = u^{-6} \) и внутренняя \( g(x) = 1 - 2x \).

  • Шаг 1: Найдем производную внешней функции по \( u \):
    \( f'(u) = (u^{-6})' = -6u^{-7} \).
  • Шаг 2: Найдем производную внутренней функции по \( x \):
    \( g'(x) = (1 - 2x)' = 0 - 2 = -2 \).
  • Шаг 3: Подставим \( g(x) \) в \( f'(u) \) и умножим на \( g'(x) \):
    \( f'(x) = -6(1 - 2x)^{-7} \cdot (-2) \).
  • Шаг 4: Упростим:
    \( f'(x) = 12(1 - 2x)^{-7} \).

    • Ответ: \( 12(1 - 2x)^{-7} \) или \( \frac{12}{(1 - 2x)^7} \)

    4) \( (2 - 5x)^4 \)

    Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \), где внешняя функция \( f(u) = u^4 \) и внутренняя \( g(x) = 2 - 5x \).

  • Шаг 1: Найдем производную внешней функции по \( u \):
    \( f'(u) = (u^4)' = 4u^3 \).
  • Шаг 2: Найдем производную внутренней функции по \( x \):
    \( g'(x) = (2 - 5x)' = 0 - 5 = -5 \).
  • Шаг 3: Подставим \( g(x) \) в \( f'(u) \) и умножим на \( g'(x) \):
    \( f'(x) = 4(2 - 5x)^3 \cdot (-5) \).
  • Шаг 4: Упростим:
    \( f'(x) = -20(2 - 5x)^3 \).

    • Ответ: \( -20(2 - 5x)^3 \)

    5) \( (-5x)^4 \)

    Функцию можно упростить: \( f(x) = (-5x)^4 = (-5)^4 \cdot x^4 = 625 x^4 \). Используем формулу производной произведения константы на степенную функцию.

  • Шаг 1: Применим правило:
    \( f'(x) = (625 x^4)' = 625 \cdot (x^4)' = 625 \cdot 4 x^{4-1} \).
  • Шаг 2: Выполним умножение и упростим степень:
    \( f'(x) = 2500 x^3 \).

    • Ответ: \( 2500 x^3 \)

    Альтернативное решение (как сложная функция):

  • Шаг 1: Внешняя функция \( f(u) = u^4 \), внутренняя \( g(x) = -5x \).
    \( f'(u) = 4u^3 \), \( g'(x) = (-5x)' = -5 \).
  • Шаг 2: Составим производную:
    \( f'(x) = 4(-5x)^3 \cdot (-5) \).
  • Шаг 3: Упростим:
    \( f'(x) = -20(-5x)^3 = -20 \cdot (-5)^3 \cdot x^3 = -20 \cdot (-125) \cdot x^3 = 2500 x^3 \).

    • Ответ: \( 2500 x^3 \)

    Что применять при решении

    Производная степенной функции
    Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
    \( (x^r)' = r x^{r-1} \)
    Производная сложной функции
    Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
    \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
    Производная суммы/разности функций
    Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
    \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
    Производная произведения функции на константу
    Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
    \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 45

    787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.