Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 45 / Задание 796

ГДЗ: Упражнение 796 - § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 236, 238, 239
Глава: Глава 8
Параграф: § 45 - Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

796 упражнение:

Найти производную функции:

1) \( (2 + 3x)^2 \)

Используем правило производной сложной функции: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \). Внешняя функция \( f(u) = u^2 \), внутренняя \( g(x) = 2 + 3x \).

  • Шаг 1: Находим производные: \( f'(u) = 2u \), \( g'(x) = (2 + 3x)' = 3 \).
  • Шаг 2: Составляем производную:
    \( f'(x) = 2(2 + 3x) \cdot 3 \).
  • Шаг 3: Упрощаем:
    \( f'(x) = 6(2 + 3x) = 12 + 18x \).

    • Ответ: \( 6(2 + 3x) \) или \( 12 + 18x \)

    2) \( \frac{1}{(3 - 2x)^3} \)

    Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = (3 - 2x)^{-3} \). Используем правило производной сложной функции: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \). Внешняя функция \( f(u) = u^{-3} \), внутренняя \( g(x) = 3 - 2x \).

  • Шаг 1: Находим производные: \( f'(u) = -3u^{-4} \), \( g'(x) = (3 - 2x)' = -2 \).
  • Шаг 2: Составляем производную:
    \( f'(x) = -3(3 - 2x)^{-4} \cdot (-2) \).
  • Шаг 3: Упрощаем:
    \( f'(x) = 6(3 - 2x)^{-4} \).

    • Ответ: \( 6(3 - 2x)^{-4} \) или \( \frac{6}{(3 - 2x)^4} \)

    3) \( \frac{1}{\sqrt[3]{(3x - 2)^2}} \)

    Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = (3x - 2)^{- \frac{2}{3}} \). Используем правило производной сложной функции. Внешняя функция \( f(u) = u^{- \frac{2}{3}} \), внутренняя \( g(x) = 3x - 2 \).

  • Шаг 1: Находим производные: \( f'(u) = - \frac{2}{3} u^{- \frac{5}{3}} \), \( g'(x) = (3x - 2)' = 3 \).
  • Шаг 2: Составляем производную:
    \( f'(x) = - \frac{2}{3} (3x - 2)^{- \frac{5}{3}} \cdot 3 \).
  • Шаг 3: Упрощаем:
    \( f'(x) = -2 (3x - 2)^{- \frac{5}{3}} \).

    • Ответ: \( -2 (3x - 2)^{- \frac{5}{3}} \) или \( - \frac{2}{\sqrt[3]{(3x - 2)^5}} \)

    4) \( \frac{1}{(3 - 14x)^2} \)

    Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = (3 - 14x)^{-2} \). Используем правило производной сложной функции. Внешняя функция \( f(u) = u^{-2} \), внутренняя \( g(x) = 3 - 14x \).

  • Шаг 1: Находим производные: \( f'(u) = -2u^{-3} \), \( g'(x) = (3 - 14x)' = -14 \).
  • Шаг 2: Составляем производную:
    \( f'(x) = -2(3 - 14x)^{-3} \cdot (-14) \).
  • Шаг 3: Упрощаем:
    \( f'(x) = 28 (3 - 14x)^{-3} \).

    • Ответ: \( 28 (3 - 14x)^{-3} \) или \( \frac{28}{(3 - 14x)^3} \)

    5) \( \frac{1}{\sqrt[3]{3x - 7}} \)

    Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = (3x - 7)^{- \frac{1}{3}} \). Используем правило производной сложной функции. Внешняя функция \( f(u) = u^{- \frac{1}{3}} \), внутренняя \( g(x) = 3x - 7 \).

  • Шаг 1: Находим производные: \( f'(u) = - \frac{1}{3} u^{- \frac{4}{3}} \), \( g'(x) = (3x - 7)' = 3 \).
  • Шаг 2: Составляем производную:
    \( f'(x) = - \frac{1}{3} (3x - 7)^{- \frac{4}{3}} \cdot 3 \).
  • Шаг 3: Упрощаем:
    \( f'(x) = - (3x - 7)^{- \frac{4}{3}} \).

    • Ответ: \( - (3x - 7)^{- \frac{4}{3}} \) или \( - \frac{1}{\sqrt[3]{(3x - 7)^4}} \)

    6) \( \frac{1}{\sqrt[4]{(1 - 2x)^3}} \)

    Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = (1 - 2x)^{- \frac{3}{4}} \). Используем правило производной сложной функции. Внешняя функция \( f(u) = u^{- \frac{3}{4}} \), внутренняя \( g(x) = 1 - 2x \).

  • Шаг 1: Находим производные: \( f'(u) = - \frac{3}{4} u^{- \frac{7}{4}} \), \( g'(x) = (1 - 2x)' = -2 \).
  • Шаг 2: Составляем производную:
    \( f'(x) = - \frac{3}{4} (1 - 2x)^{- \frac{7}{4}} \cdot (-2) \).
  • Шаг 3: Упрощаем:
    \( f'(x) = \frac{6}{4} (1 - 2x)^{- \frac{7}{4}} = \frac{3}{2} (1 - 2x)^{- \frac{7}{4}} \).

    • Ответ: \( \frac{3}{2} (1 - 2x)^{- \frac{7}{4}} \) или \( \frac{3}{2 \sqrt[4]{(1 - 2x)^7}} \)

    Что применять при решении

    Производная степенной функции
    Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
    \( (x^r)' = r x^{r-1} \)
    Производная сложной функции
    Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
    \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
    Производная суммы/разности функций
    Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
    \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
    Производная произведения функции на константу
    Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
    \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 45

    787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.