Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 45 / Задание 801

ГДЗ: Упражнение 801 - § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 236, 238, 239
Глава: Глава 8
Параграф: § 45 - Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

801 упражнение:

Найти значения \( x \), при которых значения функции \( y = \sqrt{3x - 7} \) равны значениям функции, являющейся её производной.

1)

Требуется решить уравнение \( f(x) = f'(x) \), где \( f(x) = \sqrt{3x - 7} \).

  • Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \):
    Представим \( f(x) = (3x - 7)^{\frac{1}{2}} \).
    \( f'(x) = ((3x - 7)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} (3x - 7)^{- \frac{1}{2}} \cdot (3x - 7)' = \frac{1}{2} (3x - 7)^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{2 \sqrt{3x - 7}} \).
  • Шаг 2: Составляем и решаем уравнение \( f(x) = f'(x) \):
    \( \sqrt{3x - 7} = \frac{3}{2 \sqrt{3x - 7}} \).
  • Шаг 3: Умножаем обе части на \( 2 \sqrt{3x - 7} \). Обратите внимание, что для существования функций должно быть \( 3x - 7 > 0 \), то есть \( x > \frac{7}{3} \):
    \( 2 \sqrt{3x - 7} \cdot \sqrt{3x - 7} = 3 \).
    \( 2 (3x - 7) = 3 \).
  • Шаг 4: Решаем линейное уравнение:
    \( 6x - 14 = 3 \).
    \( 6x = 17 \).
    \( x = \frac{17}{6} \).
  • Шаг 5: Проверяем условие \( x > \frac{7}{3} \):
    \( \frac{17}{6} \approx 2.83 \), \( \frac{7}{3} \approx 2.33 \). Условие \( \frac{17}{6} > \frac{7}{3} \) выполняется.

    • Ответ: \( x = \frac{17}{6} \)

    Что применять при решении

    Производная степенной функции
    Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
    \( (x^r)' = r x^{r-1} \)
    Производная сложной функции
    Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
    \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
    Производная суммы/разности функций
    Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
    \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
    Производная произведения функции на константу
    Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
    \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 45

    787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.