Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 45 / Задание 793

ГДЗ: Упражнение 793 - § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 236, 238, 239
Глава: Глава 8
Параграф: § 45 - Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

793 упражнение:

Найти \( f'(x_0) \), если:

1) \( f(x) = x^6, x_0 = 1 \)

Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = 6 \). Затем подставим значение \( x_0 \).

  • Шаг 1: Находим производную функции \( f(x) = x^6 \):
    \( f'(x) = (x^6)' = 6 x^{6-1} = 6 x^5 \).
  • Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
    \( f'(1) = 6 \cdot (1)^5 = 6 \cdot 1 = 6 \).

    • Ответ: \( 6 \)

    2) \( f(x) = x^5, x_0 = 3 \)

    Используем формулу производной степенной функции \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = 5 \). Затем подставим значение \( x_0 \).

  • Шаг 1: Находим производную функции \( f(x) = x^5 \):
    \( f'(x) = (x^5)' = 5 x^{5-1} = 5 x^4 \).
  • Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 3 \):
    \( f'(3) = 5 \cdot (3)^4 = 5 \cdot 81 = 405 \).

    • Ответ: \( 405 \)

    3) \( f(x) = \sqrt{x}, x_0 = 4 \)

    Представим функцию как \( f(x) = x^{\frac{1}{2}} \). Используем формулу \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = \frac{1}{2} \). Затем подставим значение \( x_0 \).

  • Шаг 1: Находим производную функции \( f(x) = x^{\frac{1}{2}} \):
    \( f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \).
  • Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 4 \):
    \( f'(4) = \frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \).

    • Ответ: \( \frac{1}{4} \)

    4) \( f(x) = \sqrt[3]{x}, x_0 = 8 \)

    Представим функцию как \( f(x) = x^{\frac{1}{3}} \). Используем формулу \( (x^r)' = r x^{r-1} \), где \( r = \frac{1}{3} \). Затем подставим значение \( x_0 \).

  • Шаг 1: Находим производную функции \( f(x) = x^{\frac{1}{3}} \):
    \( f'(x) = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} \).
  • Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 8 \):
    \( f'(8) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{64}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12} \).

    • Ответ: \( \frac{1}{12} \)

    5) \( f(x) = \sqrt{5 - 4x}, x_0 = 1 \)

    Представим функцию как \( f(x) = (5 - 4x)^{\frac{1}{2}} \). Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

  • Шаг 1: Находим производную функции \( f(x) = (5 - 4x)^{\frac{1}{2}} \):
    \( f'(x) = \frac{1}{2} (5 - 4x)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (5 - 4x)' = \frac{1}{2} (5 - 4x)^{- \frac{1}{2}} \cdot (-4) = -2 (5 - 4x)^{- \frac{1}{2}} = - \frac{2}{\sqrt{5 - 4x}} \).
  • Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
    \( f'(1) = - \frac{2}{\sqrt{5 - 4 \cdot 1}} = - \frac{2}{\sqrt{1}} = - \frac{2}{1} = -2 \).

    • Ответ: \( -2 \)

    6) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}}, x_0 = 1 \)

    Представим функцию как \( f(x) = (3x + 1)^{- \frac{1}{2}} \). Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

  • Шаг 1: Находим производную функции \( f(x) = (3x + 1)^{- \frac{1}{2}} \):
    \( f'(x) = - \frac{1}{2} (3x + 1)^{- \frac{1}{2} - 1} \cdot (3x + 1)' = - \frac{1}{2} (3x + 1)^{- \frac{3}{2}} \cdot 3 = - \frac{3}{2} (3x + 1)^{- \frac{3}{2}} \).
  • Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
    \( f'(1) = - \frac{3}{2} (3 \cdot 1 + 1)^{- \frac{3}{2}} = - \frac{3}{2} (4)^{- \frac{3}{2}} \).
  • Шаг 3: Упрощаем: \( (4)^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{4})^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \).
    \( f'(1) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} = - \frac{3}{16} \).

    • Ответ: \( - \frac{3}{16} \)

    Что применять при решении

    Производная степенной функции
    Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
    \( (x^r)' = r x^{r-1} \)
    Производная сложной функции
    Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
    \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
    Производная суммы/разности функций
    Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
    \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
    Производная произведения функции на константу
    Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
    \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 45

    787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.