Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 45 / Задание 799

ГДЗ: Упражнение 799 - § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 236, 238, 239
Глава: Глава 8
Параграф: § 45 - Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

799 упражнение:

При каких значениях \( x \) выполняется равенство \( f'(x) = f(x) \), если:

1) \( f(x) = (2x - 1)^2 \)

Сначала найдем \( f'(x) \), затем приравняем \( f'(x) = f(x) \) и решим уравнение.

  • Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \):
    \( f'(x) = ((2x - 1)^2)' = 2(2x - 1)^{2-1} \cdot (2x - 1)' = 2(2x - 1) \cdot 2 = 4(2x - 1) \).
  • Шаг 2: Составляем и решаем уравнение \( f'(x) = f(x) \):
    \( 4(2x - 1) = (2x - 1)^2 \).
    \( (2x - 1)^2 - 4(2x - 1) = 0 \).
  • Шаг 3: Выносим общий множитель \( (2x - 1) \):
    \( (2x - 1) [ (2x - 1) - 4 ] = 0 \).
    \( (2x - 1) (2x - 5) = 0 \).
  • Шаг 4: Находим корни (значения \( x \), при которых произведение равно нулю):
    \( 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{2} \).
    \( 2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x_2 = 2.5 \).

    • Ответ: \( x = 0.5 \) и \( x = 2.5 \)

    2) \( f(x) = (3x + 2)^2 \)

    Сначала найдем \( f'(x) \), затем приравняем \( f'(x) = f(x) \) и решим уравнение.

  • Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \):
    \( f'(x) = ((3x + 2)^2)' = 2(3x + 2)^{2-1} \cdot (3x + 2)' = 2(3x + 2) \cdot 3 = 6(3x + 2) \).
  • Шаг 2: Составляем и решаем уравнение \( f'(x) = f(x) \):
    \( 6(3x + 2) = (3x + 2)^2 \).
    \( (3x + 2)^2 - 6(3x + 2) = 0 \).
  • Шаг 3: Выносим общий множитель \( (3x + 2) \):
    \( (3x + 2) [ (3x + 2) - 6 ] = 0 \).
    \( (3x + 2) (3x - 4) = 0 \).
  • Шаг 4: Находим корни:
    \( 3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x_1 = - \frac{2}{3} \).
    \( 3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{3} \).

    • Ответ: \( x = - \frac{2}{3} \) и \( x = \frac{4}{3} \)

    Что применять при решении

    Производная степенной функции
    Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
    \( (x^r)' = r x^{r-1} \)
    Производная сложной функции
    Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
    \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
    Производная суммы/разности функций
    Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
    \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
    Производная произведения функции на константу
    Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
    \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 45

    787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.