Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 45 / Задание 792

ГДЗ: Упражнение 792 - § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 236, 238, 239
Глава: Глава 8
Параграф: § 45 - Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

792 упражнение:

Найти производную функции (787–792).

1) \( \sqrt{2x + 7} \)

Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = \sqrt{2x + 7} = (2x + 7)^{\frac{1}{2}} \). Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \), где внешняя функция \( f(u) = u^{\frac{1}{2}} \) и внутренняя \( g(x) = 2x + 7 \).

  • Шаг 1: Найдем производную внешней функции по \( u \):
    \( f'(u) = (u^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} \).
  • Шаг 2: Найдем производную внутренней функции по \( x \):
    \( g'(x) = (2x + 7)' = 2 \).
  • Шаг 3: Подставим \( g(x) \) в \( f'(u) \) и умножим на \( g'(x) \):
    \( f'(x) = \frac{1}{2} (2x + 7)^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \).
  • Шаг 4: Упростим:
    \( f'(x) = (2x + 7)^{- \frac{1}{2}} \).
  • Шаг 5: Представим в виде дроби:
    \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 7}} \).

    • Ответ: \( (2x + 7)^{- \frac{1}{2}} \) или \( \frac{1}{\sqrt{2x + 7}} \)

    2) \( \sqrt{7 - 3x} \)

    Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = \sqrt{7 - 3x} = (7 - 3x)^{\frac{1}{2}} \). Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \), где внешняя функция \( f(u) = u^{\frac{1}{2}} \) и внутренняя \( g(x) = 7 - 3x \).

  • Шаг 1: Найдем производную внешней функции по \( u \):
    \( f'(u) = (u^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} \).
  • Шаг 2: Найдем производную внутренней функции по \( x \):
    \( g'(x) = (7 - 3x)' = -3 \).
  • Шаг 3: Подставим \( g(x) \) в \( f'(u) \) и умножим на \( g'(x) \):
    \( f'(x) = \frac{1}{2} (7 - 3x)^{- \frac{1}{2}} \cdot (-3) \).
  • Шаг 4: Упростим:
    \( f'(x) = - \frac{3}{2} (7 - 3x)^{- \frac{1}{2}} \).
  • Шаг 5: Представим в виде дроби:
    \( f'(x) = - \frac{3}{2 \sqrt{7 - 3x}} \).

    • Ответ: \( - \frac{3}{2} (7 - 3x)^{- \frac{1}{2}} \) или \( - \frac{3}{2 \sqrt{7 - 3x}} \)

    3) \( \sqrt[3]{4x} \)

    Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = \sqrt[3]{4x} = (4x)^{\frac{1}{3}} \). Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \), где внешняя функция \( f(u) = u^{\frac{1}{3}} \) и внутренняя \( g(x) = 4x \).

  • Шаг 1: Найдем производную внешней функции по \( u \):
    \( f'(u) = (u^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3} u^{- \frac{2}{3}} \).
  • Шаг 2: Найдем производную внутренней функции по \( x \):
    \( g'(x) = (4x)' = 4 \).
  • Шаг 3: Подставим \( g(x) \) в \( f'(u) \) и умножим на \( g'(x) \):
    \( f'(x) = \frac{1}{3} (4x)^{- \frac{2}{3}} \cdot 4 \).
  • Шаг 4: Упростим:
    \( f'(x) = \frac{4}{3} (4x)^{- \frac{2}{3}} \).
  • Шаг 5: Представим в виде корня:
    \( f'(x) = \frac{4}{3 \sqrt[3]{(4x)^2}} = \frac{4}{3 \sqrt[3]{16x^2}} \).

    • Ответ: \( \frac{4}{3} (4x)^{- \frac{2}{3}} \) или \( \frac{4}{3 \sqrt[3]{16x^2}} \)

    4) \( \sqrt[4]{5x} \)

    Сначала представим функцию в виде степени: \( f(x) = \sqrt[4]{5x} = (5x)^{\frac{1}{4}} \). Используем правило производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \), где внешняя функция \( f(u) = u^{\frac{1}{4}} \) и внутренняя \( g(x) = 5x \).

  • Шаг 1: Найдем производную внешней функции по \( u \):
    \( f'(u) = (u^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4} u^{- \frac{3}{4}} \).
  • Шаг 2: Найдем производную внутренней функции по \( x \):
    \( g'(x) = (5x)' = 5 \).
  • Шаг 3: Подставим \( g(x) \) в \( f'(u) \) и умножим на \( g'(x) \):
    \( f'(x) = \frac{1}{4} (5x)^{- \frac{3}{4}} \cdot 5 \).
  • Шаг 4: Упростим:
    \( f'(x) = \frac{5}{4} (5x)^{- \frac{3}{4}} \).
  • Шаг 5: Представим в виде корня:
    \( f'(x) = \frac{5}{4 \sqrt[4]{(5x)^3}} = \frac{5}{4 \sqrt[4]{125x^3}} \).

    • Ответ: \( \frac{5}{4} (5x)^{- \frac{3}{4}} \) или \( \frac{5}{4 \sqrt[4]{125x^3}} \)

    Что применять при решении

    Производная степенной функции
    Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
    \( (x^r)' = r x^{r-1} \)
    Производная сложной функции
    Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
    \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
    Производная суммы/разности функций
    Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
    \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
    Производная произведения функции на константу
    Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
    \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 45

    787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.