Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 45 / Задание 798

ГДЗ: Упражнение 798 - § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 236, 238, 239
Глава: Глава 8
Параграф: § 45 - Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

798 упражнение:

Найти мгновенную скорость тела, движущегося по закону \( s(t) = \sqrt{t + 1} \), в момент времени \( t = 3 \).

1)

Мгновенная скорость \( v(t) \) — это производная от закона движения по времени, т.е. \( v(t) = s'(t) \). Закон движения: \( s(t) = \sqrt{t + 1} = (t + 1)^{\frac{1}{2}} \).

  • Шаг 1: Находим производную \( s'(t) \):
    Используем правило производной сложной функции:
    \( s'(t) = ((t + 1)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} (t + 1)^{- \frac{1}{2}} \cdot (t + 1)' = \frac{1}{2} (t + 1)^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} \).
  • Шаг 2: Вычисляем скорость в момент \( t = 3 \):
    \( v(3) = s'(3) = \frac{1}{2 \sqrt{3 + 1}} = \frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \).

    • Ответ: \( \frac{1}{4} \)

    Что применять при решении

    Производная степенной функции
    Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
    \( (x^r)' = r x^{r-1} \)
    Производная сложной функции
    Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
    \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
    Производная суммы/разности функций
    Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
    \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
    Производная произведения функции на константу
    Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
    \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 45

    787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.