Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 45 / Задание 797

ГДЗ: Упражнение 797 - § 45 (Производная степенной функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 236, 238, 239
Глава: Глава 8
Параграф: § 45 - Производная степенной функции
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

797 упражнение:

При каких значениях \( x \) производная функции \( f(x) \) равна 1, если:

1) \( f(x) = x^3 \)

Сначала найдем производную \( f'(x) \), затем решим уравнение \( f'(x) = 1 \).

  • Шаг 1: Находим производную:
    \( f'(x) = (x^3)' = 3 x^2 \).
  • Шаг 2: Решаем уравнение \( f'(x) = 1 \):
    \( 3 x^2 = 1 \).
    \( x^2 = \frac{1}{3} \).
    \( x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \).

    • Ответ: \( x = \frac{\sqrt{3}}{3} \) и \( x = - \frac{\sqrt{3}}{3} \)

    2) \( f(x) = \sqrt[3]{x^2} \)

    Сначала найдем производную \( f'(x) \), представив функцию как \( f(x) = x^{\frac{2}{3}} \). Затем решим уравнение \( f'(x) = 1 \).

  • Шаг 1: Находим производную:
    \( f'(x) = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \).
  • Шаг 2: Решаем уравнение \( f'(x) = 1 \):
    \( \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} = 1 \).
    \( 3 \sqrt[3]{x} = 2 \).
    \( \sqrt[3]{x} = \frac{2}{3} \).
  • Шаг 3: Возводим обе части в куб:
    \( x = \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27} \).

    • Ответ: \( x = \frac{8}{27} \)

    Что применять при решении

    Производная степенной функции
    Производная функции вида \( f(x) = x^r \), где \( r \in \mathbb{R} \) и \( x > 0 \), находится по правилу: показатель степени выносится как множитель, а сама степень уменьшается на единицу. Это правило также применимо для целых показателей \( r \in \mathbb{Z} \) при \( x \ne 0 \).
    \( (x^r)' = r x^{r-1} \)
    Производная сложной функции
    Если функция \( y = f(g(x)) \) является композицией двух функций, то ее производная равна произведению производной внешней функции по ее аргументу (\( g(x) \)) и производной внутренней функции по \( x \).
    \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
    Производная суммы/разности функций
    Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.
    \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
    Производная произведения функции на константу
    Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
    \( (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 45

    787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.