ГДЗ: Упражнение 175 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Функция \( y = x^3 \) — степенная функция с натуральным нечетным показателем \( \alpha = 3 \).

• Область определения: Куб любого действительного числа определен. \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
• Множество значений: Функция монотонно возрастает и принимает любые значения. \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).
• График: Кубическая парабола, симметричная относительно начала координат.

Ответ: Область определения: \( (-\infty; +\infty) \). Множество значений: \( (-\infty; +\infty) \).

Пояснение: Принимаем, что \( y = 7x^0 \). По определению, \( x^0 = 1 \) при \( x \ne 0 \). Следовательно, \( y = 7 \) при \( x \ne 0 \).

• Область определения: Поскольку \( x^0 \) не определено при \( x = 0 \), область определения: \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
• Множество значений: Функция принимает только одно значение \( 7 \). \( E(y) = \{7\} \).
• График: Прямая \( y=7 \) с "выколотой" точкой \((0; 7)\).

Ответ: Область определения: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений: \( \{7\} \).

Пояснение: Функция \( y = \sqrt{x} \) (степенная функция с показателем \( \alpha = 0{,}5 = \frac{1}{2} \)). Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел.

• Область определения: Требуется \( x \ge 0 \). \( D(y) = [0; +\infty) \).
• Множество значений: Квадратный корень всегда неотрицателен. \( E(y) = [0; +\infty) \).
• График: Ветвь параболы \( x = y^2 \) при \( y \ge 0 \).

Ответ: Область определения: \( [0; +\infty) \). Множество значений: \( [0; +\infty) \).

Пояснение: Функция содержит кубический корень в знаменателе. Корень нечетной степени определен для всех \( x \in \mathbb{R} \). Однако знаменатель не должен быть равен нулю.

• Область определения: Требуется \( \sqrt[3]{x} \ne 0 \), то есть \( x \ne 0 \). \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
• Множество значений: При \( x \ne 0 \) функция принимает все действительные значения, кроме нуля. \( E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
• График: Функция нечетная, симметрична относительно начала координат. Имеет вертикальную асимптоту \( x=0 \) и горизонтальную асимптоту \( y=0 \).

Ответ: Область определения: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

Пояснение: Функция \( y = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \). Определена для всех \( x \), кроме тех, где знаменатель равен нулю.

• Область определения: Требуется \( x^2 \ne 0 \), то есть \( x \ne 0 \). \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
• Множество значений: Так как \( x^2 > 0 \) при \( x \ne 0 \), то \( y = \frac{1}{x^2} > 0 \). \( E(y) = (0; +\infty) \).
• График: Симметричен относительно оси \( Oy \). Асимптоты: \( x=0 \) и \( y=0 \).

Ответ: Область определения: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений: \( (0; +\infty) \).

Пояснение: Функция \( y = x^{-3} = \frac{1}{x^3} \). Определена для всех \( x \), кроме тех, где знаменатель равен нулю.

• Область определения: Требуется \( x^3 \ne 0 \), то есть \( x \ne 0 \). \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
• Множество значений: Функция принимает все ненулевые действительные значения. \( E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
• График: Нечетная, симметрична относительно начала координат. Асимптоты: \( x=0 \) и \( y=0 \).

Ответ: Область определения: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).