ГДЗ: Упражнение 190 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Дробно-рациональное неравенство с радикалом в знаменателе. Дробь отрицательна, если числитель и знаменатель разных знаков. Знаменатель \( \sqrt{A} \) всегда \( > 0 \) в ОДЗ.

• Шаг 1: ОДЗ (Знаменатель):

  Для существования корня: \( 19x - x^2 - 78 \ge 0 \implies x^2 - 19x + 78 \le 0 \).

  Корни \( x^2 - 19x + 78 = 0 \): \( x_1 = 6, x_2 = 13 \). Решение: \( x \in [6; 13] \).

  Для ненулевого знаменателя: \( 19x - x^2 - 78 \ne 0 \implies x \ne 6, x \ne 13 \).

  ОДЗ: \( x \in (6; 13) \).

• Шаг 2: Решение неравенства:

  Поскольку \( \sqrt{19x - x^2 - 78} > 0 \) на ОДЗ, то неравенство равносильно \( x^2 - 13x + 40 < 0 \).

  Корни \( x^2 - 13x + 40 = 0 \): \( x_1 = 5, x_2 = 8 \). Решение: \( x \in (5; 8) \).

• Шаг 3: Пересечение решений с ОДЗ:

  Нужно найти пересечение: \( x \in (6; 13) \) и \( x \in (5; 8) \).

  Пересечение: \( x \in (6; 8) \).

Ответ: \( (6; 8) \).

Пояснение: Иррационально-рациональное неравенство.

• Шаг 1: ОДЗ:

  \( 2x^2 + 7x - 4 \ge 0 \). Корни \( 2x^2 + 7x - 4 = 0 \): \( x_1 = -4, x_2 = 0{,}5 \).

  Решение: \( x \in (-\infty; -4] \cup [0{,}5; +\infty) \).

  Знаменатель \( x + 4 \ne 0 \implies x \ne -4 \).

  ОДЗ: \( x \in (-\infty; -4) \cup [0{,}5; +\infty) \).

• Шаг 2: Равносильные системы:

  I. \( x + 4 < 0 \implies x < -4 \).

  На этом интервале \( \frac{\ge 0}{< 0} \le 0 \). Неравенство \( \frac{\sqrt{...}}{x + 4} < 1 \) всегда выполняется.

  Решение (I): \( x \in (-\infty; -4) \).

  II. \( x + 4 > 0 \implies x > -4 \).

  На этом интервале можно умножить на \( x + 4 \): \( \sqrt{2x^2 + 7x - 4} < x + 4 \).

  Это равносильно системе (при условии \( x \ge 0{,}5 \) из ОДЗ II):

  \[\begin{cases} 2x^2 + 7x - 4 \ge 0 \quad (\text{ОДЗ}) \\ x + 4 > 0 \quad (\text{условие}) \\ 2x^2 + 7x - 4 < (x + 4)^2 \end{cases}\]

  Неравенство 3: \( 2x^2 + 7x - 4 < x^2 + 8x + 16 \implies x^2 - x - 20 < 0 \).

  Корни \( x^2 - x - 20 = 0 \): \( x_3 = 5, x_4 = -4 \). Решение: \( x \in (-4; 5) \).

  Пересечение ОДЗ II (\( x \ge 0{,}5 \)) и \( x \in (-4; 5) \) дает \( x \in [0{,}5; 5) \).

• Шаг 3: Объединение решений:

  \( x \in (-\infty; -4) \cup [0{,}5; 5) \).

Ответ: \( (-\infty; -4) \cup [0{,}5; 5) \).

Пояснение: Иррациональное неравенство с модулем. Возведем в квадрат (обе части неотрицательны, так как \( |x - 3| \ge 0 \) и \( \sqrt{3 + x} \ge 0 \)).

• Шаг 1: ОДЗ:

  \( 3 + x \ge 0 \implies x \ge -3 \).

• Шаг 2: Возведение в квадрат:

  \( 3 + x > (|x - 3|)^2 \implies 3 + x > (x - 3)^2 \)

  \( 3 + x > x^2 - 6x + 9 \)

  \( 0 > x^2 - 7x + 6 \implies x^2 - 7x + 6 < 0 \).

• Шаг 3: Решение квадратного неравенства:

  Корни \( x^2 - 7x + 6 = 0 \): \( x_1 = 1, x_2 = 6 \). Решение: \( x \in (1; 6) \).

• Шаг 4: Пересечение с ОДЗ:

  Нужно найти пересечение: \( x \in (1; 6) \) и \( x \ge -3 \).

  Пересечение: \( x \in (1; 6) \).

Ответ: \( (1; 6) \).

Пояснение: Иррационально-рациональное неравенство.

• Шаг 1: ОДЗ:

  \( x - 3 > 0 \implies x > 3 \) (знаменатель).

  \( x + 10 \ge 0 \implies x \ge -10 \).

  Общее ОДЗ: \( x \in (3; +\infty) \).

• Шаг 2: Преобразование неравенства:

  На ОДЗ знаменатель \( \sqrt{x - 3} > 0 \). Умножим обе части на \( \sqrt{x - 3} \):

  \( x + 4 < \sqrt{x + 10} \cdot \sqrt{x - 3} \)

  \( x + 4 < \sqrt{(x + 10)(x - 3)} \)

  \( x + 4 < \sqrt{x^2 + 7x - 30} \).

• Шаг 3: Решение иррационального неравенства:

  \( g(x) < \sqrt{f(x)} \). Равносильно объединению двух систем:

  \[\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \quad (I) \quad \text{или} \quad \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ g(x)^2 < f(x) \end{cases} \quad (II)\]

  На ОДЗ \( x > 3 \): \( x + 4 > 0 \). Поэтому система (I) не имеет решений, и остается только система (II).

  II.1) \( x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4 \). (Выполняется на ОДЗ \( x > 3 \)).

  II.2) \( (x + 4)^2 < x^2 + 7x - 30 \)

  \( x^2 + 8x + 16 < x^2 + 7x - 30 \)

  \( 8x - 7x < -30 - 16 \)

  \( x < -46 \).

• Шаг 4: Пересечение с ОДЗ:

  Нужно найти пересечение: \( x > 3 \) и \( x < -46 \).

  Пересечение пусто.

Ответ: Уравнение не имеет решений.