ГДЗ: Упражнение 180 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Исходная функция \( f(x) = 0{,}5x + 3 \) — линейная. \( D(f) = \mathbb{R} \), \( E(f) = \mathbb{R} \).

• Шаг 1: Выразим \( x \) через \( y \):

  \( y = 0{,}5x + 3 \)

  \( y - 3 = 0{,}5x \)

  \( x = \frac{y - 3}{0{,}5} \)

  \( x = 2(y - 3) = 2y - 6 \)

• Шаг 2: Поменяем местами \( x \) и \( y \):

  Обратная функция: \( y = 2x - 6 \).

• Шаг 3: Область определения и множество значений обратной функции:

  \( D(f^{-1}) = E(f) = \mathbb{R} \).

  \( E(f^{-1}) = D(f) = \mathbb{R} \).

Ответ: Обратная функция \( y = 2x - 6 \). Область определения \( (-\infty; +\infty) \). Множество значений \( (-\infty; +\infty) \).

Пояснение: Исходная функция \( f(x) = \frac{2}{x - 3} \) — дробно-линейная. \( D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \). \( E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

• Шаг 1: Выразим \( x \) через \( y \):

  \( y = \frac{2}{x - 3} \)

  \( y(x - 3) = 2 \)

  \( x - 3 = \frac{2}{y} \) (При \( y \ne 0 \))

  \( x = 3 + \frac{2}{y} \)

• Шаг 2: Поменяем местами \( x \) и \( y \):

  Обратная функция: \( y = 3 + \frac{2}{x} \) (или \( y = \frac{3x + 2}{x} \)).

• Шаг 3: Область определения и множество значений обратной функции:

  \( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

  \( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

Ответ: Обратная функция \( y = 3 + \frac{2}{x} \). Область определения \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений \( (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

Пояснение: Исходная функция \( f(x) = (x + 2)^3 \). \( D(f) = \mathbb{R} \), \( E(f) = \mathbb{R} \).

• Шаг 1: Выразим \( x \) через \( y \):

  \( y = (x + 2)^3 \)

  \( \sqrt[3]{y} = x + 2 \)

  \( x = \sqrt[3]{y} - 2 \)

• Шаг 2: Поменяем местами \( x \) и \( y \):

  Обратная функция: \( y = \sqrt[3]{x} - 2 \).

• Шаг 3: Область определения и множество значений обратной функции:

  \( D(f^{-1}) = E(f) = \mathbb{R} \).

  \( E(f^{-1}) = D(f) = \mathbb{R} \).

Ответ: Обратная функция \( y = \sqrt[3]{x} - 2 \). Область определения \( (-\infty; +\infty) \). Множество значений \( (-\infty; +\infty) \).

Пояснение: Исходная функция \( f(x) = x^2 - 1 \) не является монотонной на всей области определения \( D(f) = \mathbb{R} \), поэтому обратная функция не определена на всем \( E(f) = [-1; +\infty) \). Для нахождения обратной функции выберем часть, где функция монотонна, например, \( x \ge 0 \).

• Ограничение: Берем ветвь \( x \ge 0 \). Тогда \( D(f) = [0; +\infty) \), \( E(f) = [-1; +\infty) \).
• Шаг 1: Выразим \( x \) через \( y \):

  \( y = x^2 - 1 \)

  \( x^2 = y + 1 \)

  \( x = \sqrt{y + 1} \) (Так как \( x \ge 0 \))

• Шаг 2: Поменяем местами \( x \) и \( y \):

  Обратная функция: \( y = \sqrt{x + 1} \).

• Шаг 3: Область определения и множество значений обратной функции:

  \( D(f^{-1}) = E(f) = [-1; +\infty) \).

  \( E(f^{-1}) = D(f) = [0; +\infty) \).

Ответ: Обратная функция (для \( x \ge 0 \)) \( y = \sqrt{x + 1} \). Область определения \( [-1; +\infty) \). Множество значений \( [0; +\infty) \).