ГДЗ: Упражнение 182 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Два уравнения равносильны, если множества их корней совпадают.

• Уравнение 1: \( 2x + 3x = 2x^2 \)

  \( 5x = 2x^2 \)

  \( 2x^2 - 5x = 0 \)

  \( x(2x - 5) = 0 \)

  Корни: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = \frac{5}{2} = 2{,}5 \).

• Уравнение 2: \( x^2 + 3x = 2 \)

  \( x^2 + 3x - 2 = 0 \)

  Дискриминант \( D = 3^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17 \).

  Корни: \( x_{3, 4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} \).

• Сравнение:

  Множества корней не совпадают: \( \{0; 2{,}5\} \ne \{\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}\} \).

Ответ: Уравнения не являются равносильными.

Пояснение: Иррациональное уравнение \( \sqrt{f(x)} = c \) (где \( c > 0 \)) равносильно системе \( \begin{cases} f(x) = c^2 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \). В данном случае \( c = \sqrt{2} > 0 \).

• Уравнение 1: \( \sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{2} \)

  Возводим в квадрат: \( x^2 + 3x = 2 \).

  ОДЗ: \( x^2 + 3x \ge 0 \). Корни \( x(x+3) = 0 \) это \( x=0, x=-3 \). ОДЗ: \( x \in (-\infty; -3] \cup [0; +\infty) \).

• Уравнение 2: \( x^2 + 3x = 2 \)

  Его корни: \( x^2 + 3x - 2 = 0 \), \( x_{1, 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} \).

  Проверим эти корни на ОДЗ:

  • \( x_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \). \( \sqrt{17} \approx 4{,}12 \). \( x_1 \approx \frac{-3 + 4{,}12}{2} = 0{,}56 > 0 \). Корень подходит.
  • \( x_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \). \( x_2 \approx \frac{-3 - 4{,}12}{2} = -3{,}56 < -3 \). Корень подходит.
• Сравнение:

  Уравнение 1 равносильно системе \( \begin{cases} x^2 + 3x = 2 \\ x^2 + 3x \ge 0 \end{cases} \). Поскольку корни Уравнения 2 удовлетворяют условию \( x^2 + 3x = 2 > 0 \), все корни Уравнения 2 являются корнями Уравнения 1.

Ответ: Уравнения являются равносильными.

Пояснение: Иррациональное уравнение \( \sqrt{f(x)} = g(x) \) равносильно системе \( \begin{cases} f(x) = g(x)^2 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \). Уравнение 2 получено возведением в квадрат, что может привести к не равносильному уравнению, если не учесть условие \( g(x) \ge 0 \).

• Уравнение 1: \( \sqrt{x + 18} = \sqrt{2} - x \)

  Равносильно системе: \( \begin{cases} x + 18 = (\sqrt{2} - x)^2 \\ \sqrt{2} - x \ge 0 \\ x + 18 \ge 0 \end{cases} \)

  Ограничение: \( x \le \sqrt{2} \approx 1{,}414 \).

• Уравнение 2: \( x + 18 = (2 - x)^2 \)

  Это уравнение \( x + 18 = 4 - 4x + x^2 \implies x^2 - 5x - 14 = 0 \). Корни \( x_1 = 7, x_2 = -2 \).

• Сравнение:

  Проверим корни Уравнения 2 на ограничение Уравнения 1: \( x \le \sqrt{2} \).

  • Корень \( x_1 = 7 \): \( 7 > \sqrt{2} \). Этот корень посторонний для Уравнения 1.
  • Корень \( x_2 = -2 \): \( -2 \le \sqrt{2} \). Этот корень подходит.

  Множества корней: \( \{-2\} \ne \{-2; 7\} \).

Ответ: Уравнения не являются равносильными (поскольку \( x=7 \) — корень второго, но не первого уравнения).