Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 2 / Задание 185

ГДЗ: Упражнение 185 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 69, 70, 71
Глава: Глава 2
Параграф: Глава 2 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

185 упражнение:

Являются ли заданные функции взаимно обратными:

1) \( y = \frac{10 - 3x}{x - 4} \) и \( y = \frac{4x + 10}{x + 3} \)

Пояснение: Функции \( f(x) \) и \( g(x) \) взаимно обратны, если \( f(g(x)) = x \) и \( g(f(x)) = x \). Также можно найти обратную для первой функции и сравнить со второй.

  • Шаг 1: Найдем обратную для \( f(x) = \frac{10 - 3x}{x - 4} \):

    \( y = \frac{10 - 3x}{x - 4} \)

    \( y(x - 4) = 10 - 3x \)

    \( xy - 4y = 10 - 3x \)

    \( xy + 3x = 10 + 4y \)

    \( x(y + 3) = 10 + 4y \)

    \( x = \frac{4y + 10}{y + 3} \)

  • Шаг 2: Сравнение:

    Обратная функция: \( f^{-1}(x) = \frac{4x + 10}{x + 3} \).

    Сравниваем с \( g(x) = \frac{4x + 10}{x + 3} \). Функции совпадают.

Ответ: Функции являются взаимно обратными.

2) \( y = \frac{3x - 6}{3x - 1} \) и \( y = \frac{6 - x}{3 - 3x} \)

Пояснение: Проверим, является ли \( g(x) = \frac{6 - x}{3 - 3x} \) обратной к \( f(x) = \frac{3x - 6}{3x - 1} \).

  • Шаг 1: Найдем обратную для \( f(x) = \frac{3x - 6}{3x - 1} \):

    \( y = \frac{3x - 6}{3x - 1} \)

    \( y(3x - 1) = 3x - 6 \)

    \( 3xy - y = 3x - 6 \)

    \( 3xy - 3x = y - 6 \)

    \( 3x(y - 1) = y - 6 \)

    \( x = \frac{y - 6}{3(y - 1)} = \frac{y - 6}{3y - 3} \)

  • Шаг 2: Сравнение:

    Обратная функция: \( f^{-1}(x) = \frac{x - 6}{3x - 3} \).

    Сравниваем с \( g(x) = \frac{6 - x}{3 - 3x} = \frac{-(x - 6)}{-(3x - 3)} = \frac{x - 6}{3x - 3} \). Функции совпадают.

Ответ: Функции являются взаимно обратными.

3) \( y = 5(1 - x)^{-1} \) и \( y = (5 - x)(5x)^{-1} \)

Пояснение: Перепишем функции в виде дробей: \( f(x) = \frac{5}{1 - x} \), \( g(x) = \frac{5 - x}{5x} \).

  • Шаг 1: Найдем обратную для \( f(x) = \frac{5}{1 - x} \):

    \( y = \frac{5}{1 - x} \)

    \( y(1 - x) = 5 \)

    \( 1 - x = \frac{5}{y} \)

    \( x = 1 - \frac{5}{y} = \frac{y - 5}{y} \)

  • Шаг 2: Сравнение:

    Обратная функция: \( f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{x} \).

    Сравниваем с \( g(x) = \frac{5 - x}{5x} \). Функции не совпадают (отличаются множителем \( 5 \) в знаменателе).

Ответ: Функции не являются взаимно обратными.

4) \( y = \frac{2 - x}{2 + x} \) и \( y = \frac{2(x - 1)}{1 + x} \)

Пояснение: Проверим, является ли \( g(x) = \frac{2(x - 1)}{1 + x} \) обратной к \( f(x) = \frac{2 - x}{2 + x} \).

  • Шаг 1: Найдем обратную для \( f(x) = \frac{2 - x}{2 + x} \):

    \( y = \frac{2 - x}{2 + x} \)

    \( y(2 + x) = 2 - x \)

    \( 2y + xy = 2 - x \)

    \( xy + x = 2 - 2y \)

    \( x(y + 1) = 2(1 - y) \)

    \( x = \frac{2(1 - y)}{y + 1} = \frac{2 - 2y}{y + 1} \)

  • Шаг 2: Сравнение:

    Обратная функция: \( f^{-1}(x) = \frac{2(1 - x)}{x + 1} \).

    Сравниваем с \( g(x) = \frac{2(x - 1)}{1 + x} \). Функции не совпадают, так как \( 1 - x \ne x - 1 \) (если \( x \ne 1 \)).

Ответ: Функции не являются взаимно обратными.

Что применять при решении

Свойства степенной функции \( y = x^\alpha \)
Область определения и множество значений степенной функции \( y = x^\alpha \) существенно зависит от показателя \( \alpha \). Если \( \alpha \in \mathbb{N} \), \( D(y) = \mathbb{R} \). Если \( \alpha \in \mathbb{Z}, \alpha < 0 \), то \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Если \( \alpha = \frac{1}{n} \) (корень \( n \)-й степени) и \( n \) четное, то \( D(y) = [0; +\infty) \). Монотонность функции: если \( \alpha > 0 \), функция возрастает на \( [0; +\infty) \); если \( \alpha < 0 \), функция убывает на \( (0; +\infty) \).
\( y = x^\alpha \)
Нахождение обратной функции
Чтобы найти функцию \( g(x) \), обратную к \( f(x) \), нужно выполнить два шага: 1) из уравнения \( y = f(x) \) выразить переменную \( x \) через \( y \); 2) поменять местами \( x \) и \( y \). Область определения \( D(g) \) равна множеству значений \( E(f) \), а \( E(g) \) равна \( D(f) \).
Если \( y = f(x) \), то \( x = f^{-1}(y) \). Обратная функция: \( y = f^{-1}(x) \)
Решение иррациональных уравнений
Иррациональные уравнения вида \( \sqrt[n]{f(x)} = g(x) \) решаются возведением обеих частей в степень \( n \). При четном показателе корня \( n \) обязательно нужно проверить условие: \( g(x) \ge 0 \) и \( f(x) \ge 0 \). При несоблюдении этих условий при возведении в четную степень могут появиться посторонние корни (уравнение может стать не равносильным исходному).
\( \sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g(x)^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \)
Равносильность уравнений
Уравнения \( f_1(x) = g_1(x) \) и \( f_2(x) = g_2(x) \) равносильны, если совпадают их множества корней. При преобразованиях (особенно возведении в четную степень) необходимо следить, чтобы ОДЗ нового уравнения совпадало с ОДЗ исходного или вводились дополнительные ограничения.
Уравнения \( A \) и \( B \) равносильны, если \( \text{Корни}(A) = \text{Корни}(B) \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа Глава 2

175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.