ГДЗ: Упражнение 177 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Основание степени \( a = 0{,}3 \) удовлетворяет условию \( 0 < a < 1 \). Функция \( y = a^x \) (показательная) является монотонно убывающей. Это означает, что чем больше показатель \( x \), тем меньше значение \( a^x \).

• Шаг 1: Сравним показатели: \( 0{,}3, 0{,}5, 1{,}415, 2 \). Очевидно: \( 0{,}3 < 0{,}5 < 1{,}415 < 2 \).
• Шаг 2: Расположим значения: Из-за убывания функции, порядок значений будет обратным порядку показателей.

\[0{,}3 < 0{,}5 < 1{,}415 < 2\] \[\Rightarrow 0{,}3^2 < 0{,}3^{1{,}415} < 0{,}3^{0{,}5} < 0{,}3^{0{,}3}\]

Ответ: \( 0{,}3^2, 0{,}3^{1{,}415}, 0{,}3^{0{,}5}, 0{,}3^{0{,}3} \).

Пояснение: Здесь показатель степени \( x = \pi \approx 3{,}14 \) — положительная константа. Рассматривается степенная функция \( y = x^{\pi} \), где \( x \) — основание. Поскольку \( \pi > 0 \), функция \( y = x^{\pi} \) является монотонно возрастающей на \( (0; +\infty) \).

• Шаг 1: Сравним основания:

  \( \sqrt{2} \approx 1{,}414 \), \( 1{,}9 \), \( \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 \), \( \pi \approx 3{,}14 \).

  Порядок возрастания оснований: \( \frac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{2} < 1{,}9 < \pi \).

• Шаг 2: Расположим значения: Из-за возрастания функции, порядок значений совпадает с порядком оснований.

\[\frac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{2} < 1{,}9 < \pi\] \[\Rightarrow (\frac{1}{\sqrt{2}})^{\pi} < (\sqrt{2})^{\pi} < 1{,}9^{\pi} < \pi^{\pi}\]

Ответ: \( (\frac{1}{\sqrt{2}})^{\pi}, (\sqrt{2})^{\pi}, 1{,}9^{\pi}, \pi^{\pi} \).

Пояснение: Основание степени \( a = 5 \) удовлетворяет условию \( a > 1 \). Функция \( y = a^x \) (показательная) является монотонно возрастающей. Это означает, что чем больше показатель \( x \), тем больше значение \( a^x \).

• Шаг 1: Приведем все к основанию 5:

  \( (\frac{1}{5})^\alpha = 5^{-1 \cdot \alpha} \). В тексте, похоже, опечатка и должно быть \( (\frac{1}{5})^{-1} \), но примем \( \alpha \) как некое число.

  Допустим, в учебнике опечатка и имеется в виду \( (\frac{1}{5})^{-1} \): \( (\frac{1}{5})^{-1} = 5^1 = 5 \).

  Тогда показатели: \( 2, -0{,}7, \frac{3}{4} = 0{,}75, 1 \). Порядок: \( -0{,}7 < 0{,}75 < 1 < 2 \).

• Шаг 2: Расположим значения: Из-за возрастания функции, порядок значений совпадает с порядком показателей.

\[\text{Показатели: } -0{,}7 < 0{,}75 < 1 < 2\] \[\Rightarrow 5^{-0{,}7} < 5^{\frac{3}{4}} < (\frac{1}{5})^{-1} < 5^2\]

Ответ (с исправленной опечаткой): \( 5^{-0{,}7}, 5^{\frac{3}{4}}, (\frac{1}{5})^{-1}, 5^2 \).

Пояснение: Показатель степени \( \alpha = -2 \) — отрицательная константа. Рассматривается степенная функция \( y = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \). На интервале \( (0; +\infty) \) эта функция является монотонно убывающей. Это означает, что чем больше основание \( x \), тем меньше значение \( x^{-2} \).

• Шаг 1: Сравним основания:

  \( 0{,}5 \), \( 1{,}3 \), \( \pi \approx 3{,}14 \), \( \sqrt{2} \approx 1{,}414 \). Все основания положительны.

  Порядок возрастания оснований: \( 0{,}5 < \sqrt{2} < 1{,}3 < \pi \).

• Шаг 2: Расположим значения: Из-за убывания функции, порядок значений будет обратным порядку оснований.

\[\text{Основания: } 0{,}5 < \sqrt{2} < 1{,}3 < \pi\] \[\Rightarrow \pi^{-2} < 1{,}3^{-2} < (\sqrt{2})^{-2} < 0{,}5^{-2}\]

Ответ: \( \pi^{-2}, 1{,}3^{-2}, (\sqrt{2})^{-2}, 0{,}5^{-2} \).