ГДЗ: Упражнение 191 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: ОДЗ неравенства: \( x - 2 \ge 0 \) и \( x - 6 \ge 0 \), то есть \( x \ge 6 \).

• Шаг 1: Анализ функции \( f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 6} \):

  Функция определена и строго возрастает на \( [6; +\infty) \).

  Наименьшее значение: \( f(6) = \sqrt{6 - 2} + \sqrt{6 - 6} = \sqrt{4} + 0 = 2 \).

  Множество значений: \( E(f) = [2; +\infty) \).

• Шаг 2: Сравнение с \( a \):

  Неравенство \( f(x) < a \) имеет решения тогда и только тогда, когда \( a \) больше минимального значения функции, т.е. \( a > 2 \).

• Шаг 3: Решение в зависимости от \( a \):

  I. Если \( a \le 2 \):

  Так как \( f(x) \ge 2 \), условие \( f(x) < a \) невозможно.
  Решение: Нет решений.

  II. Если \( a > 2 \):

  Неравенство \( \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 6} < a \). Обозначим \( \alpha_0 = 2 \).

  Найдем точку \( x_a \) при которой \( f(x_a) = a \). Поскольку \( f(x) \) возрастает, решением будет интервал \( [6; x_a) \).

  Возведем в квадрат (обе части положительны):

  \( (\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 6})^2 < a^2 \)

  \( (x - 2) + (x - 6) + 2\sqrt{(x - 2)(x - 6)} < a^2 \)

  \( 2x - 8 + 2\sqrt{x^2 - 8x + 12} < a^2 \)

  \( 2\sqrt{x^2 - 8x + 12} < a^2 - 2x + 8 \)

  Это неравенство типа \( \sqrt{A} < B \). Решаем \( 0 \le A < B^2 \) и \( B > 0 \).

  Сложное алгебраическое решение. Проще решить графически: найти \( x_a \), где \( f(x_a) = a \).

  При \( x = x_a \): \( 2\sqrt{x^2 - 8x + 12} = a^2 - 2x + 8 \). Возведем в квадрат:

  \( 4(x^2 - 8x + 12) = (a^2 - 2x + 8)^2 \)

  \( 4x^2 - 32x + 48 = a^4 + 4x^2 + 64 - 4a^2x + 16a^2 - 32x \)

  \( 48 - 64 = a^4 - 4a^2x + 16a^2 \)

  \( -16 = a^4 + 16a^2 - 4a^2x \)

  \( 4a^2x = a^4 + 16a^2 + 16 \)

  \( x = \frac{a^4 + 16a^2 + 16}{4a^2} = \frac{a^2}{4} + 4 + \frac{4}{a^2} \). Обозначим это \( x_a \).

  Решение: \( x \in [6; x_a) \).

Ответ:

• Если \( a \le 2 \): Нет решений.
• Если \( a > 2 \): \( [6; \frac{a^2}{4} + 4 + \frac{4}{a^2}) \).

Пояснение: Иррациональное неравенство с параметром. Перенесем \( 2x \) в правую часть.

• Шаг 1: ОДЗ:

  \( a^2 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le a^2 \implies -|a| \le x \le |a| \).

  Если \( a = 0 \), то \( x = 0 \), неравенство: \( 0 + 0 > 0 \), неверно. Нет решений.

  Будем считать \( a \ne 0 \). ОДЗ: \( x \in [-|a|; |a|] \).

• Шаг 2: Преобразование и равносильные системы:

  \( \sqrt{a^2 - x^2} > -2x \).

  I. \( -2x < 0 \implies x > 0 \).

  На этом интервале \( \sqrt{a^2 - x^2} \ge 0 \), поэтому неравенство \( \sqrt{a^2 - x^2} > -2x \) всегда выполняется.

  Решение (I): \( x \in (0; |a|] \). (Учитываем ОДЗ: \( x \le |a| \)).

  II. \( -2x \ge 0 \implies x \le 0 \).

  На этом интервале возводим в квадрат (с учетом ОДЗ II: \( x \in [-|a|; 0] \)):

  \( a^2 - x^2 > (-2x)^2 \implies a^2 - x^2 > 4x^2 \implies a^2 > 5x^2 \)

  \( x^2 < \frac{a^2}{5} \implies -\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x < \frac{|a|}{\sqrt{5}} \).

  Решение (II): Пересечение \( x \in (- \frac{|a|}{\sqrt{5}}; \frac{|a|}{\sqrt{5}}) \) и \( x \in [-|a|; 0] \) дает \( x \in (- \frac{|a|}{\sqrt{5}}; 0] \).

• Шаг 3: Объединение решений:

  Решение: \( x \in (- \frac{|a|}{\sqrt{5}}; 0] \cup (0; |a|] = (- \frac{|a|}{\sqrt{5}}; |a|] \).

• Шаг 4: Анализ по параметру \( a \):

  Если \( a = 0 \): Нет решений.

  Если \( a \ne 0 \):

  • Если \( a > 0 \): \( x \in (- \frac{a}{\sqrt{5}}; a] \).
  • Если \( a < 0 \): \( x \in (- \frac{-a}{\sqrt{5}}; -a] = (- \frac{|a|}{\sqrt{5}}; |a|] \).

Ответ:

• Если \( a = 0 \): Нет решений.
• Если \( a \ne 0 \): \( x \in (- \frac{|a|\sqrt{5}}{5}; |a|] \).