ГДЗ: Упражнение 186 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Исходная функция \( f(x) = 2 + \sqrt{x + 2} \).

• Область определения \( D(f) \): \( x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2 \). \( D(f) = [-2; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f) \): \( \sqrt{x + 2} \ge 0 \implies y \ge 2 \). \( E(f) = [2; +\infty) \).
• Шаг 1: Выразим \( x \) через \( y \):

  \( y - 2 = \sqrt{x + 2} \)

  Условие: \( y - 2 \ge 0 \implies y \ge 2 \) (что соответствует \( E(f) \)).

  \( (y - 2)^2 = x + 2 \)

  \( x = (y - 2)^2 - 2 \)

• Шаг 2: Поменяем местами \( x \) и \( y \):

  Обратная функция: \( y = (x - 2)^2 - 2 \).

• Шаг 3: Область определения и множество значений обратной функции:

  \( D(f^{-1}) = E(f) = [2; +\infty) \).

  \( E(f^{-1}) = D(f) = [-2; +\infty) \).

Ответ: Обратная функция \( y = (x - 2)^2 - 2 \). Область определения \( [2; +\infty) \). Множество значений \( [-2; +\infty) \).

Пояснение: Исходная функция \( f(x) = 2 - \sqrt{x + 4} \).

• Область определения \( D(f) \): \( x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4 \). \( D(f) = [-4; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f) \): \( \sqrt{x + 4} \ge 0 \implies -\sqrt{x + 4} \le 0 \implies y \le 2 \). \( E(f) = (-\infty; 2] \).
• Шаг 1: Выразим \( x \) через \( y \):

  \( y - 2 = -\sqrt{x + 4} \)

  \( 2 - y = \sqrt{x + 4} \)

  Условие: \( 2 - y \ge 0 \implies y \le 2 \).

  \( (2 - y)^2 = x + 4 \)

  \( x = (2 - y)^2 - 4 \)

• Шаг 2: Поменяем местами \( x \) и \( y \):

  Обратная функция: \( y = (2 - x)^2 - 4 \) (или \( y = (x - 2)^2 - 4 \)).

• Шаг 3: Область определения и множество значений обратной функции:

  \( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; 2] \).

  \( E(f^{-1}) = D(f) = [-4; +\infty) \).

Ответ: Обратная функция \( y = (x - 2)^2 - 4 \). Область определения \( (-\infty; 2] \). Множество значений \( [-4; +\infty) \).

Пояснение: Исходная функция \( f(x) = \sqrt{x} - 1 \).

• Область определения \( D(f) \): \( x \ge 0 \). \( D(f) = [0; +\infty) \).
• Множество значений \( E(f) \): \( \sqrt{x} \ge 0 \implies y \ge -1 \). \( E(f) = [-1; +\infty) \).
• Шаг 1: Выразим \( x \) через \( y \):

  \( y + 1 = \sqrt{x} \)

  Условие: \( y + 1 \ge 0 \implies y \ge -1 \).

  \( (y + 1)^2 = x \)

• Шаг 2: Поменяем местами \( x \) и \( y \):

  Обратная функция: \( y = (x + 1)^2 \).

• Шаг 3: Область определения и множество значений обратной функции:

  \( D(f^{-1}) = E(f) = [-1; +\infty) \).

  \( E(f^{-1}) = D(f) = [0; +\infty) \).

Ответ: Обратная функция \( y = (x + 1)^2 \). Область определения \( [-1; +\infty) \). Множество значений \( [0; +\infty) \).

Пояснение: Исходная функция \( f(x) = \sqrt{1 - x} + 3 \).

• Область определения \( D(f) \): \( 1 - x \ge 0 \implies x \le 1 \). \( D(f) = (-\infty; 1] \).
• Множество значений \( E(f) \): \( \sqrt{1 - x} \ge 0 \implies y \ge 3 \). \( E(f) = [3; +\infty) \).
• Шаг 1: Выразим \( x \) через \( y \):

  \( y - 3 = \sqrt{1 - x} \)

  Условие: \( y - 3 \ge 0 \implies y \ge 3 \).

  \( (y - 3)^2 = 1 - x \)

  \( x = 1 - (y - 3)^2 \)

• Шаг 2: Поменяем местами \( x \) и \( y \):

  Обратная функция: \( y = 1 - (x - 3)^2 \).

• Шаг 3: Область определения и множество значений обратной функции:

  \( D(f^{-1}) = E(f) = [3; +\infty) \).

  \( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; 1] \).

Ответ: Обратная функция \( y = 1 - (x - 3)^2 \). Область определения \( [3; +\infty) \). Множество значений \( (-\infty; 1] \).