ГДЗ: Упражнение 189 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Иррациональное неравенство вида \( \sqrt{f(x)} < g(x) \). Равносильно системе:

• Шаг 1: Равносильная система:

  \[\begin{cases} f(x) \ge 0 \quad (1) \\ g(x) > 0 \quad (2) \\ f(x) < g(x)^2 \quad (3) \end{cases}\]

  1) \( x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1 \).

  2) \( x - 1 > 0 \implies x > 1 \).

  3) \( x + 1 < (x - 1)^2 \implies x + 1 < x^2 - 2x + 1 \implies 0 < x^2 - 3x \implies x(x - 3) > 0 \).

• Шаг 2: Решение неравенства (3):

  \( x(x - 3) > 0 \). Корни: \( 0, 3 \). Решение: \( x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty) \).

• Шаг 3: Пересечение решений:

  Нужно найти пересечение: \( x \ge -1 \), \( x > 1 \), \( x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty) \).

  Пересечение \( x \ge -1 \) и \( x > 1 \) дает \( x > 1 \).

  Пересечение \( x > 1 \) и \( x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty) \) дает \( x \in (3; +\infty) \).

Ответ: \( (3; +\infty) \).

Пояснение: Иррациональное неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \). Равносильно объединению двух систем:

• Шаг 1: Равносильные системы:

  \[\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \quad (I) \quad \text{или} \quad \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > g(x)^2 \end{cases} \quad (II)\]

• Шаг 2: Решение системы (I):

  I.1) \( x + 1 < 0 \implies x < -1 \).

  I.2) \( 1 - x \ge 0 \implies x \le 1 \).

  Решение (I): \( x < -1 \).

• Шаг 3: Решение системы (II):

  II.1) \( x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1 \).

  II.2) \( 1 - x > (x + 1)^2 \implies 1 - x > x^2 + 2x + 1 \implies 0 > x^2 + 3x \implies x(x + 3) < 0 \).

  Решение II.2: \( x \in (-3; 0) \).

  Пересечение II.1 (\( x \ge -1 \)) и II.2 (\( x \in (-3; 0) \)) дает \( x \in [-1; 0) \).

• Шаг 4: Объединение решений:

  \( x \in (-\infty; -1) \cup [-1; 0) \implies x \in (-\infty; 0) \).

Ответ: \( (-\infty; 0) \).

Пояснение: Иррациональное неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \). Равносильно объединению двух систем:

• Шаг 1: Равносильные системы:

  \[\begin{cases} x - 2 < 0 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \quad (I) \quad \text{или} \quad \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 3x - 2 > (x - 2)^2 \end{cases} \quad (II)\]

• Шаг 2: Решение системы (I):

  I.1) \( x < 2 \).

  I.2) \( x \ge \frac{2}{3} \).

  Решение (I): \( x \in [\frac{2}{3}; 2) \).

• Шаг 3: Решение системы (II):

  II.1) \( x \ge 2 \).

  II.2) \( 3x - 2 > x^2 - 4x + 4 \implies 0 > x^2 - 7x + 6 \implies x^2 - 7x + 6 < 0 \).

  Корни \( x^2 - 7x + 6 = 0 \): \( x_1 = 1, x_2 = 6 \). Решение II.2: \( x \in (1; 6) \).

  Пересечение II.1 (\( x \ge 2 \)) и II.2 (\( x \in (1; 6) \)) дает \( x \in [2; 6) \).

• Шаг 4: Объединение решений:

  \( x \in [\frac{2}{3}; 2) \cup [2; 6) \implies x \in [\frac{2}{3}; 6) \).

Ответ: \( [\frac{2}{3}; 6) \).

Пояснение: Иррациональное неравенство вида \( \sqrt{f(x)} \le g(x) \). Равносильно системе:

• Шаг 1: Равносильная система:

  \[\begin{cases} f(x) \ge 0 \quad (1) \\ g(x) \ge 0 \quad (2) \\ f(x) \le g(x)^2 \quad (3) \end{cases}\]

  1) \( 2x + 1 \ge 0 \implies x \ge -0{,}5 \).

  2) \( x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1 \).

  3) \( 2x + 1 \le (x + 1)^2 \implies 2x + 1 \le x^2 + 2x + 1 \implies 0 \le x^2 \).

• Шаг 2: Решение неравенства (3):

  \( x^2 \ge 0 \). Это верно для всех \( x \in \mathbb{R} \).

• Шаг 3: Пересечение решений:

  Нужно найти пересечение: \( x \ge -0{,}5 \), \( x \ge -1 \), \( x \in \mathbb{R} \).

  Пересечение: \( x \ge -0{,}5 \).

Ответ: \( [-\frac{1}{2}; +\infty) \).