ГДЗ: Упражнение 188 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Уравнение, сводящееся к квадратному. Заменим \( t = \sqrt{x + 4} \).

• Шаг 1: ОДЗ и замена:

  ОДЗ: \( x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4 \).

  Пусть \( t = \sqrt{x + 4} \). Тогда \( t \ge 0 \).

  Уравнение: \( t^2 - 3t + 2 = 0 \).

• Шаг 2: Решение квадратного уравнения:

  По теореме Виета: \( t_1 = 1 \), \( t_2 = 2 \).

• Шаг 3: Обратная замена:

  1) \( \sqrt{x + 4} = 1 \). Возведем в квадрат: \( x + 4 = 1 \implies x = -3 \).

  2) \( \sqrt{x + 4} = 2 \). Возведем в квадрат: \( x + 4 = 4 \implies x = 0 \).

• Шаг 4: Проверка корней на ОДЗ \( x \ge -4 \):

  \( x = -3 \): \( -3 \ge -4 \). Подходит.

  \( x = 0 \): \( 0 \ge -4 \). Подходит.

Ответ: \( x = -3 \) и \( x = 0 \).

Пояснение: Уравнение, сводящееся к квадратному. Заменим \( t = \sqrt[4]{x - 3} \).

• Шаг 1: ОДЗ и замена:

  ОДЗ: \( x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3 \).

  Пусть \( t = \sqrt[4]{x - 3} \). Тогда \( t \ge 0 \). Обратим внимание, что \( t^2 = (\sqrt[4]{x - 3})^2 = \sqrt{x - 3} \).

  Уравнение: \( t^2 = 3t + 4 \implies t^2 - 3t - 4 = 0 \).

• Шаг 2: Решение квадратного уравнения:

  По теореме Виета: \( t_1 = 4 \), \( t_2 = -1 \).

  Условию \( t \ge 0 \) удовлетворяет только \( t = 4 \).

• Шаг 3: Обратная замена:

  \( \sqrt[4]{x - 3} = 4 \). Возведем в четвертую степень: \( x - 3 = 4^4 = 256 \).

  \( x = 256 + 3 = 259 \).

• Шаг 4: Проверка корня на ОДЗ \( x \ge 3 \):

  \( x = 259 \ge 3 \). Подходит.

Ответ: \( x = 259 \).

Пояснение: Уравнение, сводящееся к квадратному. Заменим \( t = \sqrt[4]{1 - x} \).

• Шаг 1: ОДЗ и замена:

  ОДЗ: \( 1 - x \ge 0 \implies x \le 1 \).

  Пусть \( t = \sqrt[4]{1 - x} \). Тогда \( t \ge 0 \). Обратим внимание, что \( t^2 = \sqrt{1 - x} \).

  Уравнение: \( 6t^2 - 5t = -6 \implies 6t^2 - 5t + 6 = 0 \).

• Шаг 2: Решение квадратного уравнения:

  Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4(6)(6) = 25 - 144 = -119 \).

  Так как \( D < 0 \), квадратное уравнение не имеет действительных корней \( t \).

Ответ: Уравнение не имеет решений.

Пояснение: Уравнение, сводящееся к квадратному. Заменим \( t = \sqrt{x^2 + 3x} \).

• Шаг 1: ОДЗ и замена:

  ОДЗ: \( x^2 + 3x \ge 0 \). Корни: \( x(x+3) = 0 \). ОДЗ: \( x \in (-\infty; -3] \cup [0; +\infty) \).

  Пусть \( t = \sqrt{x^2 + 3x} \). Тогда \( t \ge 0 \). Обратим внимание, что \( t^2 = x^2 + 3x \).

  Уравнение: \( t^2 + t = 2 \implies t^2 + t - 2 = 0 \).

• Шаг 2: Решение квадратного уравнения:

  По теореме Виета: \( t_1 = 1 \), \( t_2 = -2 \).

  Условию \( t \ge 0 \) удовлетворяет только \( t = 1 \).

• Шаг 3: Обратная замена:

  \( \sqrt{x^2 + 3x} = 1 \). Возведем в квадрат: \( x^2 + 3x = 1 \).

  \( x^2 + 3x - 1 = 0 \).

• Шаг 4: Решение квадратного уравнения для \( x \):

  Дискриминант \( D = 3^2 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13 \).

  Корни: \( x_{1, 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2} \).

• Шаг 5: Проверка корней на ОДЗ:

  \( x^2 + 3x = 1 \ge 0 \). Оба корня автоматически удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \( x = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \) и \( x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \).

Пояснение: Уравнение с дробями и радикалами.

• Шаг 1: ОДЗ:

  \( 3 - x \ge 0 \implies x \le 3 \)

  \( x \ge 0 \)

  Знаменатель не равен нулю: \( \sqrt{3 - x} - \sqrt{x} \ne 0 \implies \sqrt{3 - x} \ne \sqrt{x} \implies 3 - x \ne x \implies 2x \ne 3 \implies x \ne 1{,}5 \).

  Общее ОДЗ: \( x \in [0; 1{,}5) \cup (1{,}5; 3] \).

• Шаг 2: Умножение на знаменатель:

  \( \sqrt{3 - x} + \sqrt{x} = 2(\sqrt{3 - x} - \sqrt{x}) \)

  \( \sqrt{3 - x} + \sqrt{x} = 2\sqrt{3 - x} - 2\sqrt{x} \)

• Шаг 3: Группировка радикалов:

  \( \sqrt{x} + 2\sqrt{x} = 2\sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x} \)

  \( 3\sqrt{x} = \sqrt{3 - x} \)

• Шаг 4: Возведение в квадрат:

  Условие: обе части неотрицательны, что выполняется, так как \( x \ge 0 \) и \( 3 - x \ge 0 \).

  \( (3\sqrt{x})^2 = (\sqrt{3 - x})^2 \)

  \( 9x = 3 - x \)

  \( 10x = 3 \)

  \( x = 0{,}3 \)

• Шаг 5: Проверка корня на ОДЗ:

  \( x = 0{,}3 \in [0; 1{,}5) \). Корень подходит.

Ответ: \( x = 0{,}3 \).

Пояснение: Иррациональное уравнение вида \( \sqrt{A - 2\sqrt{B}} \). Используем формулу \( \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{(\sqrt{a})^2 \pm 2\sqrt{b}} \). Здесь \( \sqrt{A - 2\sqrt{B}} \) предполагает, что \( A - 2\sqrt{B} \) является полным квадратом, т.е. \( A - 2\sqrt{B} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \).

• Шаг 1: ОДЗ:

  \( x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2 \).

  Также должны быть неотрицательными выражения под внешними корнями, но это проще проверить после преобразования.

• Шаг 2: Упрощение радикалов:

  \( 4\sqrt{x + 2} = 2 \cdot 2 \sqrt{x + 2} \). Пусть \( B = x + 2 \). Тогда \( A = B + 4 \).

  Первый корень: \( \sqrt{x + 6 - 4\sqrt{x + 2}} = \sqrt{(x + 2) + 4 - 4\sqrt{x + 2}} \)

  \( = \sqrt{(x + 2) - 2 \cdot 2 \sqrt{x + 2} + 4} = \sqrt{(\sqrt{x + 2} - 2)^2} = |\sqrt{x + 2} - 2| \).

  \( 6\sqrt{x + 2} = 2 \cdot 3 \sqrt{x + 2} \). Тогда \( B = x + 2 \). \( A = x + 11 = (x + 2) + 9 \).

  Второй корень: \( \sqrt{11 + x - 6\sqrt{x + 2}} = \sqrt{(x + 2) + 9 - 6\sqrt{x + 2}} \)

  \( = \sqrt{(\sqrt{x + 2})^2 - 2 \cdot 3 \sqrt{x + 2} + 3^2} = \sqrt{(\sqrt{x + 2} - 3)^2} = |\sqrt{x + 2} - 3| \).

• Шаг 3: Решение уравнения с модулями:

  \( |\sqrt{x + 2} - 2| + |\sqrt{x + 2} - 3| = 1 \).

  Пусть \( t = \sqrt{x + 2} \). Тогда \( t \ge 0 \).

  \( |t - 2| + |t - 3| = 1 \).

  Сумма расстояний от \( t \) до \( 2 \) и \( 3 \) равна \( 1 \). Так как расстояние между \( 2 \) и \( 3 \) равно \( 1 \), то \( t \) должно лежать между ними, включая концы.

  \( 2 \le t \le 3 \).

• Шаг 4: Обратная замена:

  \( 2 \le \sqrt{x + 2} \le 3 \).

  Возводим в квадрат (все части неотрицательны): \( 4 \le x + 2 \le 9 \).

  Вычитаем 2: \( 4 - 2 \le x \le 9 - 2 \).

  \( 2 \le x \le 7 \).

• Шаг 5: Проверка на ОДЗ:

  \( x \in [2; 7] \) удовлетворяет ОДЗ \( x \ge -2 \).

Ответ: \( x \in [2; 7] \).