ГДЗ: Упражнение 758 - Глава 7 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Область определения функции - это множество значений аргумента \( x \), при которых функция имеет смысл.

• Функции \( \sin x \) и \( \cos x \) определены для любого действительного числа \( x \).

• Сумма двух функций, определённых на всей числовой оси, также определена на всей числовой оси.

Ответ: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

Функция \( y = \sin x + \operatorname{tg} x \) имеет смысл, если определено каждое из её слагаемых.

• Функция \( \sin x \) определена для любого \( x \in \mathbb{R} \).

• Функция \( \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \) определена при условии, что её знаменатель не равен нулю: \( \cos x \ne 0 \).

• Равенство \( \cos x = 0 \) выполняется для значений \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Следовательно, область определения - это все действительные числа, кроме \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \).

Ответ: \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z} \} \).

Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно (из-за квадратного корня): \( \sin x \ge 0 \).

• Неравенство \( \sin x \ge 0 \) выполняется для углов, соответствующих I и II четвертям, включая границы.

• Общее решение этого неравенства: \( 2\pi k \le x \le \pi + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( D(y) = [2\pi k; \pi + 2\pi k] \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно: \( \cos x \ge 0 \).

• Неравенство \( \cos x \ge 0 \) выполняется для углов, соответствующих I и IV четвертям, включая границы.

• Общее решение этого неравенства: \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( D(y) = [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Функция определена, если её знаменатель не равен нулю: \( 2\sin x - 1 \ne 0 \).

• Решим уравнение \( 2\sin x - 1 = 0 \), что равносильно \( \sin x = \frac{1}{2} \).

• Общее решение уравнения: \( x = (-1)^k \arcsin \left(\frac{1}{2}\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

• Это дает две серии решений:
  1) \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
  2) \( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)

Область определения - это все действительные числа, кроме найденных значений.

Ответ: \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z} \} \).

Функция определена, если её знаменатель не равен нулю: \( 2\sin^2 x - \sin x \ne 0 \).

• Разложим знаменатель на множители: \( \sin x (2\sin x - 1) \ne 0 \).

• Отсюда следует, что необходимо выполнение двух условий:

  1. \( \sin x \ne 0 \).
     Решение уравнения \( \sin x = 0 \) - это \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
  2. \( 2\sin x - 1 \ne 0 \), то есть \( \sin x \ne \frac{1}{2} \).
     Решение уравнения \( \sin x = \frac{1}{2} \) - это \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

• Область определения - это все действительные числа, кроме найденных значений.

Ответ: \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z} \} \).