ГДЗ: Упражнение 775 - Глава 7 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Перепишем неравенство в виде \( \sin x - \cos x > 0 \).

• Используем метод вспомогательного угла для левой части:
  \( \sin x - \cos x = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \sin (x + \varphi) = \sqrt{2} \sin (x - \frac{\pi}{4}) \).
  (Поскольку \( A=1, B=-1 \), \( \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}} \), то \( \varphi = -\frac{\pi}{4} \)).

• Неравенство принимает вид: \( \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) > 0 \), то есть \( \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) > 0 \).

• Синус положителен в I и II четвертях: \( 2\pi k < \alpha < \pi + 2\pi k \).

• Подставим \( \alpha = x - \frac{\pi}{4} \):
  \( 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi k \).

• Прибавим \( \frac{\pi}{4} \) ко всем частям:
  \( 2\pi k + \frac{\pi}{4} < x < \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)
  \( \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Решим неравенство: \( \operatorname{tg} x - \sin x > 0 \).

• Условие: \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

• Преобразуем левую часть:
  \( \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x > 0 \)
  \( \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) > 0 \)
  \( \sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x} > 0 \)
  \( \frac{\sin x (1 - \cos x)}{\cos x} > 0 \).

• Поскольку \( 1 - \cos x \ge 0 \) для всех \( x \), и \( 1 - \cos x = 0 \) только при \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
  На этих точках (кроме точек, где \( \cos x = 0 \)), неравенство не выполняется (левая часть равна 0).

• Для всех \( x \ne 2\pi n \), имеем \( 1 - \cos x > 0 \).
  Неравенство равносильно: \( \frac{\sin x}{\cos x} > 0 \), то есть \( \operatorname{tg} x > 0 \).

• Учитывая, что \( \operatorname{tg} x > 0 \) на интервалах \( (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k) \), и исключая точки \( x = 2\pi n \) (которые находятся внутри интервала \( \pi k \) при \( k=0 \)), окончательное решение:

• Общее решение \( \operatorname{tg} x > 0 \): \( \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k \).
  Из этого интервала нужно исключить \( x = 2\pi n \), но \( x = 2\pi n \) - это левая граница интервала при \( k=2n \), и не является его внутренней точкой.

• Однако, в граничных точках \( x = 2\pi n \) левая часть равна 0, поэтому их исключать не нужно, они уже не входят в открытый интервал.
  Исключаются только \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \).

Ответ: \( \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).