ГДЗ: Упражнение 759 - Глава 7 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x \).
Следовательно, \( y = \cos(2x) \).

• Множество значений функции \( \cos \alpha \) - это отрезок \( [-1; 1] \).

• Так как \( \alpha = 2x \) принимает все действительные значения, то и \( \cos(2x) \) принимает все значения из отрезка \( [-1; 1] \).

Ответ: \( E(y) = [-1; 1] \).

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 \).
Следовательно, \( y = \cos(2x) \).

• Множество значений функции \( \cos(2x) \) - это отрезок \( [-1; 1] \).

Ответ: \( E(y) = [-1; 1] \).

Преобразуем выражение, используя \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \):
\( y = 3 - 2\left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right) = 3 - (1 - \cos(2x)) = 2 + \cos(2x) \).

• Известно, что \( -1 \le \cos(2x) \le 1 \).

• Прибавим 2 ко всем частям неравенства, чтобы получить диапазон значений \( y \):
  \( -1 + 2 \le 2 + \cos(2x) \le 1 + 2 \),
  \( 1 \le y \le 3 \).

Ответ: \( E(y) = [1; 3] \).

Оценим функцию, используя область значений \( \cos x \):

• Поскольку \( \cos x \in [-1; 1] \), то \( \cos^2 x \in [0; 1] \).

• Умножим на 2: \( 0 \cdot 2 \le 2\cos^2 x \le 1 \cdot 2 \), то есть \( 0 \le 2\cos^2 x \le 2 \).

• Прибавим 5: \( 0 + 5 \le 2\cos^2 x + 5 \le 2 + 5 \), то есть \( 5 \le y \le 7 \).

Ответ: \( E(y) = [5; 7] \).

Используем формулу синуса разности двух углов: \( \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \).
Преобразуем выражение: \( y = - (\sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x) + 4 = -\sin (3x - x) + 4 = -\sin (2x) + 4 \).

• Множество значений \( \sin (2x) \) - это \( [-1; 1] \).

• Умножим на -1: \( -1 \le -\sin (2x) \le 1 \).

• Прибавим 4: \( -1 + 4 \le -\sin (2x) + 4 \le 1 + 4 \), то есть \( 3 \le y \le 5 \).

Ответ: \( E(y) = [3; 5] \).

Используем формулу косинуса разности двух углов: \( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \).
Преобразуем выражение: \( y = \cos (2x - x) - 3 = \cos x - 3 \).

• Множество значений \( \cos x \) - это \( [-1; 1] \).

• Вычтем 3: \( -1 - 3 \le \cos x - 3 \le 1 - 3 \), то есть \( -4 \le y \le -2 \).

Ответ: \( E(y) = [-4; -2] \).