ГДЗ: Упражнение 764 - Глава 7 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для нахождения числа корней уравнения \( \cos x = x^2 \) построим графики функций \( y_1 = \cos x \) и \( y_2 = x^2 \) и найдем число точек их пересечения.

• График \( y_1 = \cos x \): Периодическая функция, принимающая значения от -1 до 1. Максимум в \( (0, 1) \).

• График \( y_2 = x^2 \): Парабола с вершиной в \( (0, 0) \), ветви направлены вверх.

• Анализ:
  1. При \( x = 0 \): \( \cos 0 = 1 \), \( 0^2 = 0 \). Точка \( (0, 1) \) - максимум косинуса, а \( (0, 0) \) - вершина параболы.
  2. При \( x \ne 0 \), \( x^2 \ge 0 \). Корни могут быть только там, где \( \cos x \ge 0 \).
  3. Поскольку \( \cos x \le 1 \), корни могут существовать только там, где \( x^2 \le 1 \), т.е. \( x \in [-1; 1] \).

• На интервале \( [-1; 1] \):
  \( \cos 0 = 1 \), \( 0^2 = 0 \). \( \cos x \) убывает от 1 до \( \cos 1 \approx 0.54 \). \( x^2 \) возрастает от 0 до 1.
  Поскольку \( \cos x \) и \( x^2 \) непрерывны, \( \cos x = x^2 \) имеет симметричные корни \( \pm x_0 \) на \( [-1; 1] \).
  I. При \( x = 0 \), \( \cos x = 1, x^2 = 0 \), \( \cos x > x^2 \).
  II. При \( x = 1 \), \( \cos x \approx 0.54, x^2 = 1 \), \( \cos x < x^2 \).
  III. В силу непрерывности и симметрии относительно оси Oy, есть ровно два корня: \( x \approx \pm 0.82 \).

Ответ: Уравнение имеет 2 корня.

Для нахождения числа корней уравнения \( \sin x = \frac{x}{2} \) построим графики функций \( y_1 = \sin x \) и \( y_2 = \frac{x}{2} \) и найдем число точек их пересечения.

• График \( y_1 = \sin x \): Периодическая функция, \( E(y_1) = [-1; 1] \). Центрально-симметрична относительно начала координат.

• График \( y_2 = \frac{x}{2} \): Прямая, проходящая через начало координат. Угловой коэффициент \( k = \frac{1}{2} \). Центрально-симметрична относительно начала координат.

• Анализ:
  1. Точка \( x=0 \): \( \sin 0 = 0 \), \( \frac{0}{2} = 0 \). Корень \( x=0 \) - общий для обеих функций.

• Поскольку \( \sin x \le 1 \) и \( \sin x \ge -1 \), пересечения могут быть только там, где \( -1 \le \frac{x}{2} \le 1 \), то есть \( -2 \le x \le 2 \).
  \( 2 \approx 0.637\pi \). На этом интервале \( [-2; 2] \) функция \( \sin x \) имеет только один максимум \( (\frac{\pi}{2}, 1) \) и один минимум \( (-\frac{\pi}{2}, -1) \).

• II. На интервале \( (0; 2] \):
  При \( x = 2 \), \( \sin 2 \approx 0.909 \), \( \frac{2}{2} = 1 \).
  При \( x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \), \( \sin x = 1 \), \( \frac{x}{2} \approx 0.785 \).
  Функции непрерывны. В \( x=0 \) \( \sin x \) возрастает быстрее, чем \( \frac{x}{2} \) (так как \( (\sin x)'|_0 = 1 \), \( (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2} \)).
  Поскольку \( \sin 0 = \frac{0}{2} = 0 \) и \( \sin 2 < 1 = \frac{2}{2} \), существует ровно один корень \( x_1 \in (0; 2) \).

• III. На интервале \( [-2; 0) \): В силу нечётности обеих функций, существует корень \( x_2 = -x_1 \).

Ответ: Уравнение имеет 3 корня (включая \( x=0 \)).