ГДЗ: Упражнение 771 - Глава 7 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Необходимо найти \( x \), при которых \( y > 0 \).
\( 1.5 - 2\sin^2 \frac{x}{2} > 0 \).

• Преобразуем неравенство: \( 2\sin^2 \frac{x}{2} < 1.5 \), то есть \( \sin^2 \frac{x}{2} < 0.75 = \frac{3}{4} \).

• Извлечём квадратный корень: \( \left| \sin \frac{x}{2} \right| < \frac{\sqrt{3}}{2} \), что равносильно \( -\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin \frac{x}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} \).

• Решим неравенство относительно \( \alpha = \frac{x}{2} \).
  На промежутке \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] \):
  \( \sin \alpha < \frac{\sqrt{3}}{2} \) на \( (-\infty; \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{2\pi}{3}; \infty) \).
  \( \sin \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{2} \) на \( (-\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}) \).

• Объединяем: \( -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) и
  \( \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n \) (неверно).
  Общее решение: \( -\frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{3} + \pi k \).

• Умножим на 2: \( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

• Альтернативный метод: Формула понижения степени: \( 2\sin^2 \frac{x}{2} = 1 - \cos x \).
  \( y = 1.5 - (1 - \cos x) = 0.5 + \cos x \).
  Неравенство: \( 0.5 + \cos x > 0 \), то есть \( \cos x > -0.5 = -\frac{1}{2} \).

• Общее решение неравенства \( \cos x > -\frac{1}{2} \):
  \( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).