ГДЗ: Упражнение 770 - Глава 7 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Нули функции - это значения \( x \), при которых \( y = 0 \).
\( \cos^2 x - \cos x = 0 \).

• Разложим на множители: \( \cos x (\cos x - 1) = 0 \).

• Отсюда следует, что необходимо выполнение двух условий:

  1. \( \cos x = 0 \).
     Решение: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
  2. \( \cos x - 1 = 0 \), то есть \( \cos x = 1 \).
     Решение: \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) и \( x = 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).

Нули функции: \( \cos x - \cos 2x - \sin 3x = 0 \).

• Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).
  И формулу синуса тройного угла: \( \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x \).
  Подставим в уравнение:
  \( \cos x - (1 - 2\sin^2 x) - (3\sin x - 4\sin^3 x) = 0 \) (Сложно).

• Попробуем преобразовать иначе:
  \( (\cos x - \cos 2x) - \sin 3x = 0 \).
  Разность косинусов: \( \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \).
  \( -2\sin \left(\frac{x + 2x}{2}\right) \sin \left(\frac{x - 2x}{2}\right) - \sin 3x = 0 \)
  \( -2\sin \left(\frac{3x}{2}\right) \sin \left(-\frac{x}{2}\right) - \sin 3x = 0 \)
  \( 2\sin \left(\frac{3x}{2}\right) \sin \left(\frac{x}{2}\right) - \sin 3x = 0 \)

• Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 3x = 2\sin \left(\frac{3x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x}{2}\right) \).
  \( 2\sin \left(\frac{3x}{2}\right) \sin \left(\frac{x}{2}\right) - 2\sin \left(\frac{3x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x}{2}\right) = 0 \)

• Вынесем общий множитель \( 2\sin \left(\frac{3x}{2}\right) \):
  \( 2\sin \left(\frac{3x}{2}\right) \left[ \sin \left(\frac{x}{2}\right) - \cos \left(\frac{3x}{2}\right) \right] = 0 \).

• Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

  1. \( \sin \left(\frac{3x}{2}\right) = 0 \):
     \( \frac{3x}{2} = \pi k \)
     \( x = \frac{2\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

  2. \( \sin \left(\frac{x}{2}\right) - \cos \left(\frac{3x}{2}\right) = 0 \):
     \( \sin \left(\frac{x}{2}\right) = \cos \left(\frac{3x}{2}\right) \).
     Используем \( \cos \alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) \):
     \( \sin \left(\frac{x}{2}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2}\right) \).
     Общее решение уравнения \( \sin A = \sin B \): \( A = B + 2\pi n \) или \( A = \pi - B + 2\pi n \).
     а) \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2} + 2\pi n \)
     \( \frac{x}{2} + \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \)
     \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \)
     \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
     б) \( \frac{x}{2} = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2}\right) + 2\pi n \)
     \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{3x}{2} + 2\pi n \)
     \( \frac{x}{2} - \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \)
     \( -x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \)
     \( x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \), где \( m = -n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{2\pi k}{3} \), \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \), где \( k, n, m \in \mathbb{Z} \).