ГДЗ: Упражнение 766 - Глава 7 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Преобразуем выражение, используя формулу разности квадратов:
\( y = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) \).

• Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) и формулу косинуса двойного угла \( \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \).
  \( y = \cos 2x \cdot 1 = \cos 2x \).

• Множество значений функции \( \cos \alpha \) - это \( [-1; 1] \).

Ответ: Наибольшее значение: 1; Наименьшее значение: -1.

Используем формулу произведения синусов:
\( \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)] \).

• Здесь \( \alpha = x + \frac{\pi}{4} \), \( \beta = x - \frac{\pi}{4} \).
  \( \alpha - \beta = \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \)
  \( \alpha + \beta = \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 2x \)

• Подставим в формулу:
  \( y = \frac{1}{2} \left[ \cos \frac{\pi}{2} - \cos 2x \right] = \frac{1}{2} [0 - \cos 2x] = -\frac{1}{2} \cos 2x \).

• Так как \( -1 \le \cos 2x \le 1 \):
  \( -\frac{1}{2} \cdot 1 \le -\frac{1}{2} \cos 2x \le -\frac{1}{2} \cdot (-1) \)
  \( -\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2} \).

Ответ: Наибольшее значение: \( \frac{1}{2} \); Наименьшее значение: \( -\frac{1}{2} \).

Оценим функцию, используя область значений \( \sin 3x \):

• Множество значений \( \sin 3x \) - это \( [-1; 1] \).

• Тогда \( |\sin 3x| \in [0; 1] \).

• Умножим на -2:
  \( -2 \cdot 1 \le -2|\sin 3x| \le -2 \cdot 0 \)
  \( -2 \le -2|\sin 3x| \le 0 \).

• Прибавим 1:
  \( 1 - 2 \le 1 - 2|\sin 3x| \le 1 + 0 \)
  \( -1 \le y \le 1 \).

Ответ: Наибольшее значение: 1; Наименьшее значение: -1.

Преобразуем функцию, используя \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \):
\( y = \sin^2 x - 2(1 - \sin^2 x) = \sin^2 x - 2 + 2\sin^2 x = 3\sin^2 x - 2 \).

• Множество значений \( \sin x \) - это \( [-1; 1] \).
  Тогда \( \sin^2 x \in [0; 1] \).

• Умножим на 3:
  \( 3 \cdot 0 \le 3\sin^2 x \le 3 \cdot 1 \)
  \( 0 \le 3\sin^2 x \le 3 \).

• Вычтем 2:
  \( 0 - 2 \le 3\sin^2 x - 2 \le 3 - 2 \)
  \( -2 \le y \le 1 \).

Ответ: Наибольшее значение: 1; Наименьшее значение: -2.