ГДЗ: Упражнение 774 - Глава 7 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Функция имеет вид \( y = A\sin (kx) + B\cos (kx) \).
Её множество значений (амплитуда) находится по формуле: \( E(y) = [-\sqrt{A^2 + B^2}; \sqrt{A^2 + B^2}] \).

• Здесь \( A = 12 \), \( B = -5 \), \( k = 5 \).

• Вычислим: \( \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \).

Ответ: \( E(y) = [-13; 13] \).

Преобразуем функцию, используя \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \):
\( y = 1 - \sin^2 x - \sin x \).

• Введём замену: \( t = \sin x \), где \( t \in [-1; 1] \).
  Функция принимает вид: \( f(t) = -t^2 - t + 1 \), где \( t \in [-1; 1] \).
  Это квадратичная функция (парабола, ветви вниз).

• Найдём вершину параболы: \( t_в = -\frac{-1}{2(-1)} = -\frac{1}{2} \).
  \( t_в = -\frac{1}{2} \) принадлежит интервалу \( [-1; 1] \).

• Максимальное значение функции достигается в вершине:
  \( y_{max} = f(-\frac{1}{2}) = -\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4} = 1.25 \).

• Минимальное значение достигается на границах интервала \( [-1; 1] \):
  \( f(-1) = -(-1)^2 - (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1 \).
  \( f(1) = -(1)^2 - 1 + 1 = -1 \).

• Минимальное значение: \( y_{min} = -1 \).

Ответ: \( E(y) = [-1; \frac{5}{4}] \).