Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 13 / Задание 1218

ГДЗ: Упражнение 1218 - Глава 13 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 383, 384, 385, 386
Глава: Глава 13
Параграф: Глава 13 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1218 упражнение:

Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:

1) 3, 8, 5, 5, 6

Выборка: 3, 8, 5, 5, 6. Количество элементов \( N = 5 \).

  • Шаг 1. Вычисление выборочного среднего \( \bar{x} \). \( \bar{x} = \frac{3 + 8 + 5 + 5 + 6}{5} = \frac{27}{5} = 5.4 \).
  • Шаг 2. Вычисление дисперсии \( D \). Используем формулу \( D = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \).
  • Квадраты отклонений от среднего:
    • \( (3 - 5.4)^2 = (-2.4)^2 = 5.76 \).
    • \( (8 - 5.4)^2 = (2.6)^2 = 6.76 \).
    • \( (5 - 5.4)^2 = (-0.4)^2 = 0.16 \).
    • \( (5 - 5.4)^2 = (-0.4)^2 = 0.16 \).
    • \( (6 - 5.4)^2 = (0.6)^2 = 0.36 \).
  • Сумма квадратов отклонений: \( 5.76 + 6.76 + 0.16 + 0.16 + 0.36 = 13.2 \).
  • Дисперсия: \( D = \frac{13.2}{5} = 2.64 \).
  • Шаг 3. Вычисление среднего квадратичного отклонения \( \sigma \). \( \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{2.64} \approx 1.625 \).

Ответ: Дисперсия \( D = 2.64 \). Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \approx 1.63 \).

2) 4, 7, 3, 9

Выборка: 4, 7, 3, 9. Количество элементов \( N = 4 \).

  • Шаг 1. Вычисление выборочного среднего \( \bar{x} \). \( \bar{x} = \frac{4 + 7 + 3 + 9}{4} = \frac{23}{4} = 5.75 \).
  • Шаг 2. Вычисление дисперсии \( D \). Используем формулу \( D = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \).
  • Квадраты отклонений от среднего:
    • \( (4 - 5.75)^2 = (-1.75)^2 = 3.0625 \).
    • \( (7 - 5.75)^2 = (1.25)^2 = 1.5625 \).
    • \( (3 - 5.75)^2 = (-2.75)^2 = 7.5625 \).
    • \( (9 - 5.75)^2 = (3.25)^2 = 10.5625 \).
  • Сумма квадратов отклонений: \( 3.0625 + 1.5625 + 7.5625 + 10.5625 = 22.75 \).
  • Дисперсия: \( D = \frac{22.75}{4} = 5.6875 \).
  • Шаг 3. Вычисление среднего квадратичного отклонения \( \sigma \). \( \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{5.6875} \approx 2.385 \).

Ответ: Дисперсия \( D = 5.6875 \). Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \approx 2.39 \).

3) 3, 4, 1, 3, 2, 2

Выборка: 3, 4, 1, 3, 2, 2. Количество элементов \( N = 6 \).

  • Шаг 1. Вычисление выборочного среднего \( \bar{x} \). \( \bar{x} = \frac{3 + 4 + 1 + 3 + 2 + 2}{6} = \frac{15}{6} = 2.5 \).
  • Шаг 2. Вычисление дисперсии \( D \). Используем формулу \( D = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \).
  • Квадраты отклонений от среднего:
    • \( (3 - 2.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25 \).
    • \( (4 - 2.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25 \).
    • \( (1 - 2.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25 \).
    • \( (3 - 2.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25 \).
    • \( (2 - 2.5)^2 = (-0.5)^2 = 0.25 \).
    • \( (2 - 2.5)^2 = (-0.5)^2 = 0.25 \).
  • Сумма квадратов отклонений: \( 0.25 + 2.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 = 5.5 \).
  • Дисперсия: \( D = \frac{5.5}{6} = \frac{11}{12} \approx 0.9167 \).
  • Шаг 3. Вычисление среднего квадратичного отклонения \( \sigma \). \( \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{11}{12}} \approx 0.957 \).

Ответ: Дисперсия \( D = \frac{11}{12} \). Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \approx 0.96 \).

4) 3, 2, 1, 1, 5

Выборка: 3, 2, 1, 1, 5. Количество элементов \( N = 5 \).

  • Шаг 1. Вычисление выборочного среднего \( \bar{x} \). \( \bar{x} = \frac{3 + 2 + 1 + 1 + 5}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \).
  • Шаг 2. Вычисление дисперсии \( D \). Используем формулу \( D = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \).
  • Квадраты отклонений от среднего:
    • \( (3 - 2.4)^2 = (0.6)^2 = 0.36 \).
    • \( (2 - 2.4)^2 = (-0.4)^2 = 0.16 \).
    • \( (1 - 2.4)^2 = (-1.4)^2 = 1.96 \).
    • \( (1 - 2.4)^2 = (-1.4)^2 = 1.96 \).
    • \( (5 - 2.4)^2 = (2.6)^2 = 6.76 \).
  • Сумма квадратов отклонений: \( 0.36 + 0.16 + 1.96 + 1.96 + 6.76 = 11.2 \).
  • Дисперсия: \( D = \frac{11.2}{5} = 2.24 \).
  • Шаг 3. Вычисление среднего квадратичного отклонения \( \sigma \). \( \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{2.24} \approx 1.497 \).

Ответ: Дисперсия \( D = 2.24 \). Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \approx 1.50 \).

5) 2, -1, 3, -2, 5

Выборка: 2, -1, 3, -2, 5. Количество элементов \( N = 5 \).

  • Шаг 1. Вычисление выборочного среднего \( \bar{x} \). \( \bar{x} = \frac{2 + (-1) + 3 + (-2) + 5}{5} = \frac{7}{5} = 1.4 \).
  • Шаг 2. Вычисление дисперсии \( D \). Используем формулу \( D = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \).
  • Квадраты отклонений от среднего:
    • \( (2 - 1.4)^2 = (0.6)^2 = 0.36 \).
    • \( (-1 - 1.4)^2 = (-2.4)^2 = 5.76 \).
    • \( (3 - 1.4)^2 = (1.6)^2 = 2.56 \).
    • \( (-2 - 1.4)^2 = (-3.4)^2 = 11.56 \).
    • \( (5 - 1.4)^2 = (3.6)^2 = 12.96 \).
  • Сумма квадратов отклонений: \( 0.36 + 5.76 + 2.56 + 11.56 + 12.96 = 33.2 \).
  • Дисперсия: \( D = \frac{33.2}{5} = 6.64 \).
  • Шаг 3. Вычисление среднего квадратичного отклонения \( \sigma \). \( \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{6.64} \approx 2.577 \).

Ответ: Дисперсия \( D = 6.64 \). Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \approx 2.58 \).

6) -2, 4, -3, -1, 6

Выборка: -2, 4, -3, -1, 6. Количество элементов \( N = 5 \).

  • Шаг 1. Вычисление выборочного среднего \( \bar{x} \). \( \bar{x} = \frac{(-2) + 4 + (-3) + (-1) + 6}{5} = \frac{4}{5} = 0.8 \).
  • Шаг 2. Вычисление дисперсии \( D \). Используем формулу \( D = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \).
  • Квадраты отклонений от среднего:
    • \( (-2 - 0.8)^2 = (-2.8)^2 = 7.84 \).
    • \( (4 - 0.8)^2 = (3.2)^2 = 10.24 \).
    • \( (-3 - 0.8)^2 = (-3.8)^2 = 14.44 \).
    • \( (-1 - 0.8)^2 = (-1.8)^2 = 3.24 \).
    • \( (6 - 0.8)^2 = (5.2)^2 = 27.04 \).
  • Сумма квадратов отклонений: \( 7.84 + 10.24 + 14.44 + 3.24 + 27.04 = 62.8 \).
  • Дисперсия: \( D = \frac{62.8}{5} = 12.56 \).
  • Шаг 3. Вычисление среднего квадратичного отклонения \( \sigma \). \( \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{12.56} \approx 3.544 \).

Ответ: Дисперсия \( D = 12.56 \). Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \approx 3.54 \).

Что применять при решении

Размах выборки
Размах выборки R — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.
\( R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} \)
Мода выборки
Мода M_o — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто.
Нет формулы, определяется подсчетом частот.
Медиана выборки
Медиана M_e — это центральное значение упорядоченной выборки. Если количество элементов N нечетно, то медиана — это значение, стоящее на позиции \( \frac{N+1}{2} \). Если N четно, то медиана — это среднее арифметическое двух центральных значений, стоящих на позициях \( \frac{N}{2} \) и \( \frac{N}{2} + 1 \).
\( M_e = \begin{cases} x_{\frac{N+1}{2}}, & \text{если } N \text{ нечетно} \\ \frac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2} + 1}}{2}, & \text{если } N \text{ четно} \end{cases} \)
Среднее арифметическое (выборочное среднее)
Среднее арифметическое \( \bar{x} \) — это сумма всех значений выборки, деленная на их количество N.
\( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \)
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание \( M(X) \) (или \( E(X) \) ) дискретной случайной величины X, заданной своими значениями \( x_i \) и соответствующими вероятностями \( p_i \) (где \( \sum p_i = 1 \)), равно сумме произведений этих значений на их вероятности.
\( M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \)
Дисперсия выборки
Выборочная дисперсия \( D \) — это мера разброса данных в выборке. Рассчитывается как среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего \( \bar{x} \). Для большого объема выборки (N) используется формула деления на N.
\( D \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \)
Среднее квадратичное отклонение
Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \) — это квадратный корень из дисперсии. Оно имеет ту же размерность, что и сами данные, что делает его удобным для интерпретации.
\( \sigma = \sqrt{D} \)
Дисперсия дискретной случайной величины (через частоты)
Дисперсия \( D(X) \) дискретной случайной величины X, заданной значениями \( x_i \) и частотами \( M_i \) (где \( N = \sum M_i \)), может быть найдена по формуле, адаптированной для частотного распределения, или через формулу \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \), где \( M(X) \) — математическое ожидание, а \( M(X^2) \) — математическое ожидание квадрата случайной величины.
\( D(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i - (\sum_{i=1}^{n} x_i p_i)^2 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа Глава 13

1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219 1220 1221 1222 1223 1224 1225 1226 1227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.