Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 13 / Задание 1222

ГДЗ: Упражнение 1222 - Глава 13 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 383, 384, 385, 386
Глава: Глава 13
Параграф: Глава 13 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1222 упражнение:

Сравнить дисперсии выборок:

1) 2, 3, 5, 3, 7 и 4, 7, 5, 6

Выборка 1: \( X_1 = \{2, 3, 5, 3, 7\} \). \( N_1 = 5 \).

  • Среднее \( \bar{x}_1 \): \( \bar{x}_1 = \frac{2+3+5+3+7}{5} = \frac{20}{5} = 4 \).
  • Дисперсия \( D_1 \): \( D_1 = \frac{1}{5} \sum (x_i - 4)^2 \). \( \sum (x_i - 4)^2 = (2-4)^2 + (3-4)^2 + (5-4)^2 + (3-4)^2 + (7-4)^2 = 4 + 1 + 1 + 1 + 9 = 16 \). \( D_1 = \frac{16}{5} = 3.2 \).

Выборка 2: \( X_2 = \{4, 7, 5, 6\} \). \( N_2 = 4 \).

  • Среднее \( \bar{x}_2 \): \( \bar{x}_2 = \frac{4+7+5+6}{4} = \frac{22}{4} = 5.5 \).
  • Дисперсия \( D_2 \): \( D_2 = \frac{1}{4} \sum (x_i - 5.5)^2 \). \( \sum (x_i - 5.5)^2 = (4-5.5)^2 + (7-5.5)^2 + (5-5.5)^2 + (6-5.5)^2 = (-1.5)^2 + (1.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2 = 2.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 = 5 \). \( D_2 = \frac{5}{4} = 1.25 \).

Шаг 3. Сравнение. \( D_1 = 3.2 \) и \( D_2 = 1.25 \). Так как \( 3.2 > 1.25 \), то \( D_1 > D_2 \).

Ответ: Дисперсия первой выборки \( D_1 = 3.2 \) больше дисперсии второй выборки \( D_2 = 1.25 \).

2) -1, 3, 4 и -2, 0, 2, 4, 5

Выборка 1: \( X_1 = \{-1, 3, 4\} \). \( N_1 = 3 \).

  • Среднее \( \bar{x}_1 \): \( \bar{x}_1 = \frac{-1 + 3 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2 \).
  • Дисперсия \( D_1 \): \( D_1 = \frac{1}{3} \sum (x_i - 2)^2 \). \( \sum (x_i - 2)^2 = (-1-2)^2 + (3-2)^2 + (4-2)^2 = (-3)^2 + 1^2 + 2^2 = 9 + 1 + 4 = 14 \). \( D_1 = \frac{14}{3} \approx 4.667 \).

Выборка 2: \( X_2 = \{-2, 0, 2, 4, 5\} \). \( N_2 = 5 \).

  • Среднее \( \bar{x}_2 \): \( \bar{x}_2 = \frac{-2 + 0 + 2 + 4 + 5}{5} = \frac{9}{5} = 1.8 \).
  • Дисперсия \( D_2 \): \( D_2 = \frac{1}{5} \sum (x_i - 1.8)^2 \). \( \sum (x_i - 1.8)^2 = (-2-1.8)^2 + (0-1.8)^2 + (2-1.8)^2 + (4-1.8)^2 + (5-1.8)^2 = (-3.8)^2 + (-1.8)^2 + (0.2)^2 + (2.2)^2 + (3.2)^2 = 14.44 + 3.24 + 0.04 + 4.84 + 10.24 = 32.8 \). \( D_2 = \frac{32.8}{5} = 6.56 \).

Шаг 3. Сравнение. \( D_1 \approx 4.67 \) и \( D_2 = 6.56 \). Так как \( 4.67 < 6.56 \), то \( D_1 < D_2 \).

Ответ: Дисперсия первой выборки \( D_1 = \frac{14}{3} \approx 4.67 \) меньше дисперсии второй выборки \( D_2 = 6.56 \).

Что применять при решении

Размах выборки
Размах выборки R — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.
\( R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} \)
Мода выборки
Мода M_o — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто.
Нет формулы, определяется подсчетом частот.
Медиана выборки
Медиана M_e — это центральное значение упорядоченной выборки. Если количество элементов N нечетно, то медиана — это значение, стоящее на позиции \( \frac{N+1}{2} \). Если N четно, то медиана — это среднее арифметическое двух центральных значений, стоящих на позициях \( \frac{N}{2} \) и \( \frac{N}{2} + 1 \).
\( M_e = \begin{cases} x_{\frac{N+1}{2}}, & \text{если } N \text{ нечетно} \\ \frac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2} + 1}}{2}, & \text{если } N \text{ четно} \end{cases} \)
Среднее арифметическое (выборочное среднее)
Среднее арифметическое \( \bar{x} \) — это сумма всех значений выборки, деленная на их количество N.
\( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \)
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание \( M(X) \) (или \( E(X) \) ) дискретной случайной величины X, заданной своими значениями \( x_i \) и соответствующими вероятностями \( p_i \) (где \( \sum p_i = 1 \)), равно сумме произведений этих значений на их вероятности.
\( M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \)
Дисперсия выборки
Выборочная дисперсия \( D \) — это мера разброса данных в выборке. Рассчитывается как среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего \( \bar{x} \). Для большого объема выборки (N) используется формула деления на N.
\( D \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \)
Среднее квадратичное отклонение
Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \) — это квадратный корень из дисперсии. Оно имеет ту же размерность, что и сами данные, что делает его удобным для интерпретации.
\( \sigma = \sqrt{D} \)
Дисперсия дискретной случайной величины (через частоты)
Дисперсия \( D(X) \) дискретной случайной величины X, заданной значениями \( x_i \) и частотами \( M_i \) (где \( N = \sum M_i \)), может быть найдена по формуле, адаптированной для частотного распределения, или через формулу \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \), где \( M(X) \) — математическое ожидание, а \( M(X^2) \) — математическое ожидание квадрата случайной величины.
\( D(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i - (\sum_{i=1}^{n} x_i p_i)^2 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа Глава 13

1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219 1220 1221 1222 1223 1224 1225 1226 1227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.