Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 13 / Задание 1225

ГДЗ: Упражнение 1225 - Глава 13 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 383, 384, 385, 386
Глава: Глава 13
Параграф: Глава 13 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1225 упражнение:

Сравнить дисперсии трех совокупностей, представленных таблицами распределения, выявить ту совокупность, значения которой имеют меньший разброс данных около своего среднего.

1) Совокупность I: X: 1, 2, 4, 5; M: 2, 1, 3, 2. Совокупность II: Y: -2, 0, 1, 2, 3; M: 2, 3, 2, 2, 1. Совокупность III: Z: -5, -4, -2, 3; M: 1, 3, 3, 1.

Меньший разброс данных около среднего имеет совокупность с наименьшей дисперсией.

  • Общая формула дисперсии: \( D = \frac{\sum x_i^2 M_i}{N} - \bar{x}^2 \), где \( \bar{x} = \frac{\sum x_i M_i}{N} \).

Совокупность I (\( X \)): \( x_i \): 1, 2, 4, 5. \( M_i \): 2, 1, 3, 2. Объем \( N_I = 2 + 1 + 3 + 2 = 8 \).

  • Среднее \( \bar{x} \): \( \sum x_i M_i = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 2 + 2 + 12 + 10 = 26 \). \( \bar{x} = \frac{26}{8} = 3.25 \).
  • Дисперсия \( D_I \): \( \sum x_i^2 M_i = 1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 1 + 4^2 \cdot 3 + 5^2 \cdot 2 = 2 + 4 + 48 + 50 = 104 \). \( D_I = \frac{104}{8} - 3.25^2 = 13 - 10.5625 = 2.4375 \).

Совокупность II (\( Y \)): \( y_i \): -2, 0, 1, 2, 3. \( M_i \): 2, 3, 2, 2, 1. Объем \( N_{II} = 2 + 3 + 2 + 2 + 1 = 10 \).

  • Среднее \( \bar{y} \): \( \sum y_i M_i = (-2) \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = -4 + 0 + 2 + 4 + 3 = 5 \). \( \bar{y} = \frac{5}{10} = 0.5 \).
  • Дисперсия \( D_{II} \): \( \sum y_i^2 M_i = (-2)^2 \cdot 2 + 0^2 \cdot 3 + 1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 2 + 3^2 \cdot 1 = 8 + 0 + 2 + 8 + 9 = 27 \). \( D_{II} = \frac{27}{10} - 0.5^2 = 2.7 - 0.25 = 2.45 \).

Совокупность III (\( Z \)): \( z_i \): -5, -4, -2, 3. \( M_i \): 1, 3, 3, 1. Объем \( N_{III} = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 \).

  • Среднее \( \bar{z} \): \( \sum z_i M_i = (-5) \cdot 1 + (-4) \cdot 3 + (-2) \cdot 3 + 3 \cdot 1 = -5 - 12 - 6 + 3 = -20 \). \( \bar{z} = \frac{-20}{8} = -2.5 \).
  • Дисперсия \( D_{III} \): \( \sum z_i^2 M_i = (-5)^2 \cdot 1 + (-4)^2 \cdot 3 + (-2)^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 1 = 25 + 48 + 12 + 9 = 94 \). \( D_{III} = \frac{94}{8} - (-2.5)^2 = 11.75 - 6.25 = 5.5 \).

Сравнение: \( D_I = 2.4375 \), \( D_{II} = 2.45 \), \( D_{III} = 5.5 \).

Вывод: Наименьшая дисперсия у совокупности I: \( D_I = 2.4375 \).

Ответ: Наименьший разброс данных около своего среднего имеет совокупность I, так как ее дисперсия \( D_I = 2.4375 \) наименьшая.

Что применять при решении

Размах выборки
Размах выборки R — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.
\( R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} \)
Мода выборки
Мода M_o — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто.
Нет формулы, определяется подсчетом частот.
Медиана выборки
Медиана M_e — это центральное значение упорядоченной выборки. Если количество элементов N нечетно, то медиана — это значение, стоящее на позиции \( \frac{N+1}{2} \). Если N четно, то медиана — это среднее арифметическое двух центральных значений, стоящих на позициях \( \frac{N}{2} \) и \( \frac{N}{2} + 1 \).
\( M_e = \begin{cases} x_{\frac{N+1}{2}}, & \text{если } N \text{ нечетно} \\ \frac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2} + 1}}{2}, & \text{если } N \text{ четно} \end{cases} \)
Среднее арифметическое (выборочное среднее)
Среднее арифметическое \( \bar{x} \) — это сумма всех значений выборки, деленная на их количество N.
\( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \)
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание \( M(X) \) (или \( E(X) \) ) дискретной случайной величины X, заданной своими значениями \( x_i \) и соответствующими вероятностями \( p_i \) (где \( \sum p_i = 1 \)), равно сумме произведений этих значений на их вероятности.
\( M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \)
Дисперсия выборки
Выборочная дисперсия \( D \) — это мера разброса данных в выборке. Рассчитывается как среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего \( \bar{x} \). Для большого объема выборки (N) используется формула деления на N.
\( D \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \)
Среднее квадратичное отклонение
Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \) — это квадратный корень из дисперсии. Оно имеет ту же размерность, что и сами данные, что делает его удобным для интерпретации.
\( \sigma = \sqrt{D} \)
Дисперсия дискретной случайной величины (через частоты)
Дисперсия \( D(X) \) дискретной случайной величины X, заданной значениями \( x_i \) и частотами \( M_i \) (где \( N = \sum M_i \)), может быть найдена по формуле, адаптированной для частотного распределения, или через формулу \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \), где \( M(X) \) — математическое ожидание, а \( M(X^2) \) — математическое ожидание квадрата случайной величины.
\( D(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i - (\sum_{i=1}^{n} x_i p_i)^2 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа Глава 13

1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219 1220 1221 1222 1223 1224 1225 1226 1227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.