Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 13 / Задание 1224

ГДЗ: Упражнение 1224 - Глава 13 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 383, 384, 385, 386
Глава: Глава 13
Параграф: Глава 13 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1224 упражнение:

Были произведены замеры диаметров \( d \) оснований цилиндров в партии стальных заготовок. Замеры производились дважды — двумя различными измерительными приборами. Результаты измерений (с точностью до 1 мм) первым прибором представлены в таблице слева, а вторым прибором — в таблице справа. Сравнить дисперсии значений случайных величин \( d_1 \) и \( d_2 \).

1) Для \( d_1 \): значения 58, 59, 60, 61, 62; частоты \( M_1 \): 1, 2, 4, 2, 1. Для \( d_2 \): значения 59, 60, 61, 62; частоты \( M_2 \): 2, 5, 2, 1.

Сравнение дисперсий покажет, какой из приборов дает более стабильные (менее разбросанные) измерения.

Измерения \( d_1 \): Значения \( x_i \): 58, 59, 60, 61, 62. Частоты \( M_i \): 1, 2, 4, 2, 1. Объем выборки \( N_1 = 1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 10 \).

  • Шаг 1. Среднее \( \bar{d}_1 \): \( \bar{d}_1 = \frac{58 \cdot 1 + 59 \cdot 2 + 60 \cdot 4 + 61 \cdot 2 + 62 \cdot 1}{10} = \frac{58 + 118 + 240 + 122 + 62}{10} = \frac{600}{10} = 60 \).
  • Шаг 2. Дисперсия \( D_1 \): Используем \( D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 M_i}{N} \). \( \sum (x_i - 60)^2 M_i = (58-60)^2 \cdot 1 + (59-60)^2 \cdot 2 + (60-60)^2 \cdot 4 + (61-60)^2 \cdot 2 + (62-60)^2 \cdot 1 = 4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12 \). \( D_1 = \frac{12}{10} = 1.2 \).

Измерения \( d_2 \): Значения \( x_i \): 59, 60, 61, 62. Частоты \( M_i \): 2, 5, 2, 1. Объем выборки \( N_2 = 2 + 5 + 2 + 1 = 10 \).

  • Шаг 3. Среднее \( \bar{d}_2 \): \( \bar{d}_2 = \frac{59 \cdot 2 + 60 \cdot 5 + 61 \cdot 2 + 62 \cdot 1}{10} = \frac{118 + 300 + 122 + 62}{10} = \frac{602}{10} = 60.2 \).
  • Шаг 4. Дисперсия \( D_2 \): Используем \( D = \frac{\sum (x_i - 60.2)^2 M_i}{N} \). \( \sum (x_i - 60.2)^2 M_i = (59-60.2)^2 \cdot 2 + (60-60.2)^2 \cdot 5 + (61-60.2)^2 \cdot 2 + (62-60.2)^2 \cdot 1 = (-1.2)^2 \cdot 2 + (-0.2)^2 \cdot 5 + (0.8)^2 \cdot 2 + (1.8)^2 \cdot 1 = 1.44 \cdot 2 + 0.04 \cdot 5 + 0.64 \cdot 2 + 3.24 \cdot 1 = 2.88 + 0.2 + 1.28 + 3.24 = 7.6 \). \( D_2 = \frac{7.6}{10} = 0.76 \).

Шаг 5. Сравнение. \( D_1 = 1.2 \) и \( D_2 = 0.76 \). Так как \( D_2 < D_1 \), то дисперсия измерений вторым прибором меньше.

Ответ: Дисперсия измерений вторым прибором \( D_2 = 0.76 \) меньше дисперсии измерений первым прибором \( D_1 = 1.2 \). Это означает, что второй прибор дает более стабильные (менее разбросанные) результаты.

Что применять при решении

Размах выборки
Размах выборки R — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.
\( R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} \)
Мода выборки
Мода M_o — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто.
Нет формулы, определяется подсчетом частот.
Медиана выборки
Медиана M_e — это центральное значение упорядоченной выборки. Если количество элементов N нечетно, то медиана — это значение, стоящее на позиции \( \frac{N+1}{2} \). Если N четно, то медиана — это среднее арифметическое двух центральных значений, стоящих на позициях \( \frac{N}{2} \) и \( \frac{N}{2} + 1 \).
\( M_e = \begin{cases} x_{\frac{N+1}{2}}, & \text{если } N \text{ нечетно} \\ \frac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2} + 1}}{2}, & \text{если } N \text{ четно} \end{cases} \)
Среднее арифметическое (выборочное среднее)
Среднее арифметическое \( \bar{x} \) — это сумма всех значений выборки, деленная на их количество N.
\( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \)
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание \( M(X) \) (или \( E(X) \) ) дискретной случайной величины X, заданной своими значениями \( x_i \) и соответствующими вероятностями \( p_i \) (где \( \sum p_i = 1 \)), равно сумме произведений этих значений на их вероятности.
\( M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \)
Дисперсия выборки
Выборочная дисперсия \( D \) — это мера разброса данных в выборке. Рассчитывается как среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего \( \bar{x} \). Для большого объема выборки (N) используется формула деления на N.
\( D \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \)
Среднее квадратичное отклонение
Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \) — это квадратный корень из дисперсии. Оно имеет ту же размерность, что и сами данные, что делает его удобным для интерпретации.
\( \sigma = \sqrt{D} \)
Дисперсия дискретной случайной величины (через частоты)
Дисперсия \( D(X) \) дискретной случайной величины X, заданной значениями \( x_i \) и частотами \( M_i \) (где \( N = \sum M_i \)), может быть найдена по формуле, адаптированной для частотного распределения, или через формулу \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \), где \( M(X) \) — математическое ожидание, а \( M(X^2) \) — математическое ожидание квадрата случайной величины.
\( D(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i - (\sum_{i=1}^{n} x_i p_i)^2 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа Глава 13

1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219 1220 1221 1222 1223 1224 1225 1226 1227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.