Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 13 / Задание 1221

ГДЗ: Упражнение 1221 - Глава 13 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 383, 384, 385, 386
Глава: Глава 13
Параграф: Глава 13 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1221 упражнение:

Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение значений случайной величины \( Z \), распределенных по частотам \( M \):

1) Z: -2, -1, 1, 3; M: 2, 1, 3, 1

Значения \( z_i \): -2, -1, 1, 3. Частоты \( M_i \): 2, 1, 3, 1. Объем выборки \( N = 2 + 1 + 3 + 1 = 7 \).

  • Шаг 1. Вычисление выборочного среднего \( \bar{z} \). \( \bar{z} = \frac{\sum z_i M_i}{N} \). \( \sum z_i M_i = (-2) \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = -4 - 1 + 3 + 3 = 1 \). \( \bar{z} = \frac{1}{7} \approx 0.1429 \).
  • Шаг 2. Вычисление дисперсии \( D \). Используем формулу \( D = \frac{\sum (z_i - \bar{z})^2 M_i}{N} \).
  • Квадраты отклонений от среднего:
    • \( (-2 - \frac{1}{7})^2 \cdot 2 = (-\frac{15}{7})^2 \cdot 2 = \frac{225}{49} \cdot 2 = \frac{450}{49} \).
    • \( (-1 - \frac{1}{7})^2 \cdot 1 = (-\frac{8}{7})^2 = \frac{64}{49} \).
    • \( (1 - \frac{1}{7})^2 \cdot 3 = (\frac{6}{7})^2 \cdot 3 = \frac{36}{49} \cdot 3 = \frac{108}{49} \).
    • \( (3 - \frac{1}{7})^2 \cdot 1 = (\frac{20}{7})^2 = \frac{400}{49} \).
  • Сумма: \( \frac{450 + 64 + 108 + 400}{49} = \frac{1022}{49} \).
  • Дисперсия: \( D = \frac{1022}{49} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1022}{343} \approx 2.9796 \).
  • Шаг 3. Вычисление среднего квадратичного отклонения \( \sigma \). \( \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{1022}{343}} \approx 1.726 \).

Ответ: Дисперсия \( D = \frac{1022}{343} \approx 2.98 \). Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \approx 1.73 \).

2) Z: -4, -1, 2, 3; M: 1, 2, 3, 1

Значения \( z_i \): -4, -1, 2, 3. Частоты \( M_i \): 1, 2, 3, 1. Объем выборки \( N = 1 + 2 + 3 + 1 = 7 \).

  • Шаг 1. Вычисление выборочного среднего \( \bar{z} \). \( \sum z_i M_i = (-4) \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = -4 - 2 + 6 + 3 = 3 \). \( \bar{z} = \frac{3}{7} \approx 0.4286 \).
  • Шаг 2. Вычисление дисперсии \( D \) (с использованием \( D = \frac{\sum z_i^2 M_i}{N} - \bar{z}^2 \)).
    • \( \sum z_i^2 M_i = (-4)^2 \cdot 1 + (-1)^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 1 = 16 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 9 \cdot 1 = 16 + 2 + 12 + 9 = 39 \).
    • \( D = \frac{39}{7} - (\frac{3}{7})^2 = \frac{39}{7} - \frac{9}{49} = \frac{39 \cdot 7 - 9}{49} = \frac{273 - 9}{49} = \frac{264}{49} \approx 5.3878 \).
  • Шаг 3. Вычисление среднего квадратичного отклонения \( \sigma \). \( \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{264}{49}} = \frac{\sqrt{264}}{7} \approx 2.321 \).

Ответ: Дисперсия \( D = \frac{264}{49} \approx 5.39 \). Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \approx 2.32 \).

Что применять при решении

Размах выборки
Размах выборки R — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.
\( R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} \)
Мода выборки
Мода M_o — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто.
Нет формулы, определяется подсчетом частот.
Медиана выборки
Медиана M_e — это центральное значение упорядоченной выборки. Если количество элементов N нечетно, то медиана — это значение, стоящее на позиции \( \frac{N+1}{2} \). Если N четно, то медиана — это среднее арифметическое двух центральных значений, стоящих на позициях \( \frac{N}{2} \) и \( \frac{N}{2} + 1 \).
\( M_e = \begin{cases} x_{\frac{N+1}{2}}, & \text{если } N \text{ нечетно} \\ \frac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2} + 1}}{2}, & \text{если } N \text{ четно} \end{cases} \)
Среднее арифметическое (выборочное среднее)
Среднее арифметическое \( \bar{x} \) — это сумма всех значений выборки, деленная на их количество N.
\( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \)
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание \( M(X) \) (или \( E(X) \) ) дискретной случайной величины X, заданной своими значениями \( x_i \) и соответствующими вероятностями \( p_i \) (где \( \sum p_i = 1 \)), равно сумме произведений этих значений на их вероятности.
\( M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \)
Дисперсия выборки
Выборочная дисперсия \( D \) — это мера разброса данных в выборке. Рассчитывается как среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего \( \bar{x} \). Для большого объема выборки (N) используется формула деления на N.
\( D \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \)
Среднее квадратичное отклонение
Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \) — это квадратный корень из дисперсии. Оно имеет ту же размерность, что и сами данные, что делает его удобным для интерпретации.
\( \sigma = \sqrt{D} \)
Дисперсия дискретной случайной величины (через частоты)
Дисперсия \( D(X) \) дискретной случайной величины X, заданной значениями \( x_i \) и частотами \( M_i \) (где \( N = \sum M_i \)), может быть найдена по формуле, адаптированной для частотного распределения, или через формулу \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \), где \( M(X) \) — математическое ожидание, а \( M(X^2) \) — математическое ожидание квадрата случайной величины.
\( D(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i - (\sum_{i=1}^{n} x_i p_i)^2 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа Глава 13

1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219 1220 1221 1222 1223 1224 1225 1226 1227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.