Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 13 / Задание 1223

ГДЗ: Упражнение 1223 - Глава 13 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 383, 384, 385, 386
Глава: Глава 13
Параграф: Глава 13 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1223 упражнение:

Сравнить стабильность производительности труда двух рабочих, первый из которых работал 5 дней, а второй — 6 дней, при этом они имели одинаковую среднюю производительность:

1) Рабочий I (дней): 1-5; Производительность (дет./день): 8, 11, 9, 12, 10. Рабочий II (дней): 1-6; Производительность (дет./день): 8, 12, 11, 8, 12, 9.

Стабильность производительности определяется наименьшей дисперсией (или средним квадратичным отклонением): чем меньше разброс данных, тем стабильнее производительность.

Рабочий I: \( X_1 = \{8, 11, 9, 12, 10\} \). \( N_1 = 5 \).

  • Средняя производительность \( \bar{x}_1 \): \( \bar{x}_1 = \frac{8 + 11 + 9 + 12 + 10}{5} = \frac{50}{5} = 10 \). (Условие: средние одинаковые, проверяем для Рабочего II).
  • Дисперсия \( D_1 \): \( \sum (x_i - 10)^2 = (8-10)^2 + (11-10)^2 + (9-10)^2 + (12-10)^2 + (10-10)^2 = 4 + 1 + 1 + 4 + 0 = 10 \). \( D_1 = \frac{10}{5} = 2 \).

Рабочий II: \( X_2 = \{8, 12, 11, 8, 12, 9\} \). \( N_2 = 6 \).

  • Средняя производительность \( \bar{x}_2 \): \( \bar{x}_2 = \frac{8 + 12 + 11 + 8 + 12 + 9}{6} = \frac{60}{6} = 10 \). (Соответствует условию).
  • Дисперсия \( D_2 \): \( \sum (x_i - 10)^2 = (8-10)^2 + (12-10)^2 + (11-10)^2 + (8-10)^2 + (12-10)^2 + (9-10)^2 = 4 + 4 + 1 + 4 + 4 + 1 = 18 \). \( D_2 = \frac{18}{6} = 3 \).

Сравнение стабильности. Так как \( D_1 = 2 \) и \( D_2 = 3 \), и \( D_1 < D_2 \), то производительность Рабочего I более стабильна (имеет меньший разброс).

Ответ: Производительность труда Рабочего I более стабильна, так как его дисперсия \( D_1 = 2 \) меньше дисперсии Рабочего II \( D_2 = 3 \).

2) Рабочий I (дней): 1-6; Производительность (дет./день): 9, 10, 11, 11, 10, 9. Рабочий II (дней): 1-6; Производительность (дет./день): 9, 10, 11, 11, 10, 9.

Обе выборки, \( X_1 = \{9, 10, 11, 11, 10, 9\} \) и \( X_2 = \{9, 10, 11, 11, 10, 9\} \), абсолютно идентичны. Следовательно, их средние производительности и дисперсии будут равны, а стабильность одинакова.

  • Средняя производительность \( \bar{x} \): \( \bar{x} = \frac{9 + 10 + 11 + 11 + 10 + 9}{6} = \frac{60}{6} = 10 \).
  • Дисперсия \( D \): \( \sum (x_i - 10)^2 = (9-10)^2 + (10-10)^2 + (11-10)^2 + (11-10)^2 + (10-10)^2 + (9-10)^2 = 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 = 4 \). \( D = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.667 \).

Сравнение стабильности. \( D_1 = D_2 = \frac{2}{3} \).

Ответ: Стабильность производительности труда обоих рабочих одинакова, так как их дисперсии равны \( D = \frac{2}{3} \).

Что применять при решении

Размах выборки
Размах выборки R — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.
\( R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} \)
Мода выборки
Мода M_o — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто.
Нет формулы, определяется подсчетом частот.
Медиана выборки
Медиана M_e — это центральное значение упорядоченной выборки. Если количество элементов N нечетно, то медиана — это значение, стоящее на позиции \( \frac{N+1}{2} \). Если N четно, то медиана — это среднее арифметическое двух центральных значений, стоящих на позициях \( \frac{N}{2} \) и \( \frac{N}{2} + 1 \).
\( M_e = \begin{cases} x_{\frac{N+1}{2}}, & \text{если } N \text{ нечетно} \\ \frac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2} + 1}}{2}, & \text{если } N \text{ четно} \end{cases} \)
Среднее арифметическое (выборочное среднее)
Среднее арифметическое \( \bar{x} \) — это сумма всех значений выборки, деленная на их количество N.
\( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \)
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание \( M(X) \) (или \( E(X) \) ) дискретной случайной величины X, заданной своими значениями \( x_i \) и соответствующими вероятностями \( p_i \) (где \( \sum p_i = 1 \)), равно сумме произведений этих значений на их вероятности.
\( M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \)
Дисперсия выборки
Выборочная дисперсия \( D \) — это мера разброса данных в выборке. Рассчитывается как среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего \( \bar{x} \). Для большого объема выборки (N) используется формула деления на N.
\( D \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \)
Среднее квадратичное отклонение
Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \) — это квадратный корень из дисперсии. Оно имеет ту же размерность, что и сами данные, что делает его удобным для интерпретации.
\( \sigma = \sqrt{D} \)
Дисперсия дискретной случайной величины (через частоты)
Дисперсия \( D(X) \) дискретной случайной величины X, заданной значениями \( x_i \) и частотами \( M_i \) (где \( N = \sum M_i \)), может быть найдена по формуле, адаптированной для частотного распределения, или через формулу \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \), где \( M(X) \) — математическое ожидание, а \( M(X^2) \) — математическое ожидание квадрата случайной величины.
\( D(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i - (\sum_{i=1}^{n} x_i p_i)^2 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа Глава 13

1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219 1220 1221 1222 1223 1224 1225 1226 1227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.