Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 13 / Задание 1219

ГДЗ: Упражнение 1219 - Глава 13 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 383, 384, 385, 386
Глава: Глава 13
Параграф: Глава 13 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1219 упражнение:

Найти размах, моду, медиану и среднее выборки случайной величины \( X \), распределение которых по частотам \( M \) задано таблицей:

1) X: -1, 0, 1, 3, 5, 6; M: 2, 3, 4, 1, 1, 1

Значения \( x_i \): -1, 0, 1, 3, 5, 6. Частоты \( M_i \): 2, 3, 4, 1, 1, 1.

  • Шаг 1. Объем выборки \( N \): \( N = 2 + 3 + 4 + 1 + 1 + 1 = 12 \).
  • Шаг 2. Размах \( R \). \( R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} = 6 - (-1) = 7 \).
  • Шаг 3. Мода \( M_o \). Наибольшая частота \( M_{\text{max}} = 4 \), соответствует значению \( X=1 \). \( M_o = 1 \).
  • Шаг 4. Среднее \( \bar{x} \). \( \bar{x} = \frac{\sum x_i M_i}{N} \). \( \sum x_i M_i = (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1 = -2 + 0 + 4 + 3 + 5 + 6 = 16 \). \( \bar{x} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \approx 1.333 \).
  • Шаг 5. Медиана \( M_e \). \( N=12 \) — четное. Центральные элементы на 6-й и 7-й позициях.
    • 1-й и 2-й элементы: -1.
    • 3-й, 4-й, 5-й элементы: 0.
    • 6-й, 7-й, 8-й, 9-й элементы: 1.
  • 6-й элемент равен 1, 7-й элемент равен 1. \( M_e = \frac{1 + 1}{2} = 1 \).

Ответ: Размах \( R = 7 \). Мода \( M_o = 1 \). Медиана \( M_e = 1 \). Среднее \( \bar{x} = \frac{4}{3} \).

2) X: -2, -1, 0, 2, 3, 4; M: 1, 2, 4, 4, 1, 1

Значения \( x_i \): -2, -1, 0, 2, 3, 4. Частоты \( M_i \): 1, 2, 4, 4, 1, 1.

  • Шаг 1. Объем выборки \( N \): \( N = 1 + 2 + 4 + 4 + 1 + 1 = 13 \).
  • Шаг 2. Размах \( R \). \( R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} = 4 - (-2) = 6 \).
  • Шаг 3. Мода \( M_o \). Наибольшая частота \( M_{\text{max}} = 4 \), соответствует значениям \( X=0 \) и \( X=2 \). \( M_o = 0 \) и \( 2 \) (бимодальная выборка).
  • Шаг 4. Среднее \( \bar{x} \). \( \sum x_i M_i = (-2) \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = -2 - 2 + 0 + 8 + 3 + 4 = 11 \). \( \bar{x} = \frac{11}{13} \approx 0.846 \).
  • Шаг 5. Медиана \( M_e \). \( N=13 \) — нечетное. Медиана — \( \frac{13+1}{2} = 7 \) элемент.
    • 1-й элемент: -2.
    • 2-й, 3-й элементы: -1.
    • 4-й, 5-й, 6-й, 7-й элементы: 0.
  • 7-й элемент равен 0. \( M_e = 0 \).

Ответ: Размах \( R = 6 \). Мода \( M_o = 0 \) и \( 2 \). Медиана \( M_e = 0 \). Среднее \( \bar{x} = \frac{11}{13} \).

Что применять при решении

Размах выборки
Размах выборки R — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.
\( R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} \)
Мода выборки
Мода M_o — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто.
Нет формулы, определяется подсчетом частот.
Медиана выборки
Медиана M_e — это центральное значение упорядоченной выборки. Если количество элементов N нечетно, то медиана — это значение, стоящее на позиции \( \frac{N+1}{2} \). Если N четно, то медиана — это среднее арифметическое двух центральных значений, стоящих на позициях \( \frac{N}{2} \) и \( \frac{N}{2} + 1 \).
\( M_e = \begin{cases} x_{\frac{N+1}{2}}, & \text{если } N \text{ нечетно} \\ \frac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2} + 1}}{2}, & \text{если } N \text{ четно} \end{cases} \)
Среднее арифметическое (выборочное среднее)
Среднее арифметическое \( \bar{x} \) — это сумма всех значений выборки, деленная на их количество N.
\( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \)
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание \( M(X) \) (или \( E(X) \) ) дискретной случайной величины X, заданной своими значениями \( x_i \) и соответствующими вероятностями \( p_i \) (где \( \sum p_i = 1 \)), равно сумме произведений этих значений на их вероятности.
\( M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \)
Дисперсия выборки
Выборочная дисперсия \( D \) — это мера разброса данных в выборке. Рассчитывается как среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего \( \bar{x} \). Для большого объема выборки (N) используется формула деления на N.
\( D \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \)
Среднее квадратичное отклонение
Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \) — это квадратный корень из дисперсии. Оно имеет ту же размерность, что и сами данные, что делает его удобным для интерпретации.
\( \sigma = \sqrt{D} \)
Дисперсия дискретной случайной величины (через частоты)
Дисперсия \( D(X) \) дискретной случайной величины X, заданной значениями \( x_i \) и частотами \( M_i \) (где \( N = \sum M_i \)), может быть найдена по формуле, адаптированной для частотного распределения, или через формулу \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \), где \( M(X) \) — математическое ожидание, а \( M(X^2) \) — математическое ожидание квадрата случайной величины.
\( D(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i - (\sum_{i=1}^{n} x_i p_i)^2 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа Глава 13

1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219 1220 1221 1222 1223 1224 1225 1226 1227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.