ГДЗ: Упражнение 733 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Необходимо решить уравнение \( \text{tg}\, x = 0 \).

Шаг 2: Общее решение уравнения \( \text{tg}\, x = 0 \) имеет вид \( x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 3: Найдем решения, попадающие в заданный промежуток \( [-\pi; 2\pi] \).

• При \( n = -1 \): \( x = -\pi \) (входит в промежуток).
• При \( n = 0 \): \( x = 0 \) (входит в промежуток).
• При \( n = 1 \): \( x = \pi \) (входит в промежуток).
• При \( n = 2 \): \( x = 2\pi \) (входит в промежуток).
• При \( n = 3 \): \( x = 3\pi \) (не входит в промежуток).

Ответ: Функция \( y = \text{tg}\, x \) принимает значение, равное \( 0 \), при \( x \in \left\{ -\pi, 0, \pi, 2\pi \right\} \) из промежутка \( [-\pi; 2\pi] \).

Шаг 1: Функция \( y = \text{tg}\, x \) принимает положительные значения, когда \( \text{tg}\, x > 0 \).

Шаг 2: Тангенс положителен в I и III четвертях. Общее решение неравенства \( \text{tg}\, x > 0 \) имеет вид: \( \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 3: Найдем интервалы, попадающие в промежуток \( [-\pi; 2\pi] \):

• При \( n = -1 \): \( -\pi < x < -\frac{\pi}{2} \). Пересечение с \( [-\pi; 2\pi] \) дает \( (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \).
• При \( n = 0 \): \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \). Пересечение с \( [-\pi; 2\pi] \) дает \( (0; \frac{\pi}{2}) \).
• При \( n = 1 \): \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \). Пересечение с \( [-\pi; 2\pi] \) дает \( (\pi; \frac{3\pi}{2}) \).
• При \( n = 2 \): \( 2\pi < x < \frac{5\pi}{2} \). Пересечение с \( [-\pi; 2\pi] \) пусто (так как \( 2\pi \) — это конец промежутка, а интервал начинается строго после него).

Ответ: Функция \( y = \text{tg}\, x \) принимает положительные значения на множестве \( \left( -\pi; -\frac{\pi}{2} \right) \cup \left( 0; \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right) \) из промежутка \( [-\pi; 2\pi] \).

Шаг 1: Функция \( y = \text{tg}\, x \) принимает отрицательные значения, когда \( \text{tg}\, x < 0 \).

Шаг 2: Тангенс отрицателен во II и IV четвертях. Общее решение неравенства \( \text{tg}\, x < 0 \) имеет вид: \( -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 3: Найдем интервалы, попадающие в промежуток \( [-\pi; 2\pi] \):

• При \( n = 0 \): \( -\frac{\pi}{2} < x < 0 \). Пересечение с \( [-\pi; 2\pi] \) дает \( (-\frac{\pi}{2}; 0) \).
• При \( n = 1 \): \( \frac{\pi}{2} < x < \pi \). Пересечение с \( [-\pi; 2\pi] \) дает \( (\frac{\pi}{2}; \pi) \).
• При \( n = 2 \): \( \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi \). Пересечение с \( [-\pi; 2\pi] \) дает \( (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \).
• При \( n = 3 \): \( \frac{5\pi}{2} < x < 3\pi \) (не входит в промежуток).
• При \( n = -1 \): \( -\frac{3\pi}{2} < x < -\pi \). Пересечение с \( [-\pi; 2\pi] \) пусто (так как \( -\pi \) — это начало промежутка).

Ответ: Функция \( y = \text{tg}\, x \) принимает отрицательные значения на множестве \( \left( -\frac{\pi}{2}; 0 \right) \cup \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \) из промежутка \( [-\pi; 2\pi] \).