ГДЗ: Упражнение 746 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Построение графика:

График функции \( y = |\text{tg}\, x| \) получается из графика \( y = \text{tg}\, x \) отражением отрицательных частей графика (лежащих ниже оси \( Ox \)) симметрично вверх относительно оси \( Ox \).

Свойства:

• Функция четная.
• Период \( T = \pi \).
• Область значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).

Построение графика:

График функции \( y = \text{tg}\, |x| \) получается из графика \( y = \text{tg}\, x \) следующим образом: для \( x \ge 0 \) график совпадает с \( y = \text{tg}\, x \), а для \( x < 0 \) график симметричен части для \( x > 0 \) относительно оси \( Oy \).

Свойства:

• Функция четная.
• Функция не является периодической.
• Область значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).

Построение графика:

График функции \( y = \text{ctg}\, x \) имеет вид, аналогичный \( y = \text{tg}\, x \), но сдвинутый на \( \frac{\pi}{2} \) и отраженный относительно оси \( Oy \) (или \( Ox \)) благодаря соотношению \( \text{ctg}\, x = -\text{tg}\, (x - \frac{\pi}{2}) \). Асимптоты: \( x = \pi n \).

Свойства:

• Функция нечетная.
• Период \( T = \pi \).
• Функция убывает на каждом интервале области определения.

Пояснение: Используя тригонометрическое тождество, \( \frac{1}{\text{ctg}\, x} = \text{tg}\, x \).

Следовательно, \( y = \text{tg}\, x \).

Построение графика и свойства:

График и свойства функции \( y = \text{tg}\, x \) с дополнительным условием \( \text{ctg}\, x \ne 0 \), что означает \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n \). Однако, это условие уже входит в область определения \( \text{tg}\, x \), поэтому:

• Область определения: \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
• Функция нечетная.
• Период \( T = \pi \).