ГДЗ: Упражнение 735 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Сравним аргументы тангенсов: \( \frac{\pi}{5} \) и \( \frac{\pi}{7} \).

Так как \( 5 < 7 \), то \( \frac{1}{5} > \frac{1}{7} \). Следовательно, \( \frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7} \).

Шаг 2: Убедимся, что оба аргумента лежат на одном интервале возрастания. Оба числа \( \frac{\pi}{5} \) и \( \frac{\pi}{7} \) принадлежат интервалу \( \left( 0; \frac{\pi}{2} \right) \), который является частью основного интервала возрастания \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \).

Шаг 3: Используем свойство возрастания: если \( x_1 < x_2 \) и функция \( f(x) \) возрастает, то \( f(x_1) < f(x_2) \). Так как \( \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5} \) и функция \( \text{tg}\, x \) возрастает на \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), то \( \text{tg}\, \frac{\pi}{7} < \text{tg}\, \frac{\pi}{5} \).

Ответ: \( \text{tg}\, \frac{\pi}{5} > \text{tg}\, \frac{\pi}{7} \).

Шаг 1: Сравним аргументы тангенсов: \( \frac{7\pi}{8} \) и \( \frac{8\pi}{9} \).

Сравним дроби \( \frac{7}{8} \) и \( \frac{8}{9} \): \( 7 \cdot 9 = 63 \), \( 8 \cdot 8 = 64 \). Так как \( 63 < 64 \), то \( \frac{7}{8} < \frac{8}{9} \).

Следовательно, \( \frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{9} \).

Шаг 2: Убедимся, что оба аргумента лежат на одном интервале возрастания. Оба числа \( \frac{7\pi}{8} \) и \( \frac{8\pi}{9} \) принадлежат интервалу \( \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \), который является частью интервала возрастания \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \) (при \( n = 1 \)).

• \( \frac{7\pi}{8} > \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2} \) и \( \frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{8} = \pi \).
• \( \frac{8\pi}{9} > \frac{4.5\pi}{9} = \frac{\pi}{2} \) и \( \frac{8\pi}{9} < \frac{9\pi}{9} = \pi \).

Шаг 3: Используем свойство возрастания. Так как \( \frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{9} \) и функция \( \text{tg}\, x \) возрастает на \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \), то \( \text{tg}\, \frac{7\pi}{8} < \text{tg}\, \frac{8\pi}{9} \).

Ответ: \( \text{tg}\, \frac{7\pi}{8} < \text{tg}\, \frac{8\pi}{9} \).

Шаг 1: Используем свойство нечетности: \( \text{tg}(-x) = -\text{tg}\, x \).

\(\{ \text{tg}\, \left( -\frac{7\pi}{8} \right) = -\text{tg}\, \frac{7\pi}{8} \) и \( \text{tg}\, \left( -\frac{8\pi}{9} \right) = -\text{tg}\, \frac{8\pi}{9} \).

Шаг 2: Из предыдущего пункта 2) мы знаем, что \( \text{tg}\, \frac{7\pi}{8} < \text{tg}\, \frac{8\pi}{9} \).

Шаг 3: При умножении неравенства на \( -1 \), знак неравенства меняется на противоположный.

\( -\text{tg}\, \frac{7\pi}{8} > -\text{tg}\, \frac{8\pi}{9} \).

Следовательно, \( \text{tg}\, \left( -\frac{7\pi}{8} \right) > \text{tg}\, \left( -\frac{8\pi}{9} \right) \).

Альтернативный способ (через сравнение аргументов):

Сравним аргументы: \( -\frac{7\pi}{8} \) и \( -\frac{8\pi}{9} \).

Так как \( \frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{9} \), то \( -\frac{7\pi}{8} > -\frac{8\pi}{9} \).

Оба аргумента лежат в интервале \( \left( -\pi; -\frac{\pi}{2} \right) \), который является частью интервала возрастания \( \left( -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2} \right) \) (при \( n = -1 \)).

Так как \( -\frac{8\pi}{9} < -\frac{7\pi}{8} \) и функция возрастает, то \( \text{tg}\, \left( -\frac{8\pi}{9} \right) < \text{tg}\, \left( -\frac{7\pi}{8} \right) \).

Ответ: \( \text{tg}\, \left( -\frac{7\pi}{8} \right) > \text{tg}\, \left( -\frac{8\pi}{9} \right) \).

Шаг 1: Используем свойство периодичности \( \text{tg}(x + \pi n) = \text{tg}\, x \) для второго числа, чтобы привести аргумент к интервалу, близкому к \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \).

\( -\frac{7\pi}{5} = -\frac{5\pi + 2\pi}{5} = -\pi - \frac{2\pi}{5} \).

Так как период тангенса \( \pi \), то \( \text{tg}\, \left( -\frac{7\pi}{5} \right) = \text{tg}\, \left( -\pi - \frac{2\pi}{5} \right) = \text{tg}\, \left( -\frac{2\pi}{5} \right) \).

Шаг 2: Сравним \( \text{tg}\, \left( -\frac{\pi}{5} \right) \) и \( \text{tg}\, \left( -\frac{2\pi}{5} \right) \).

Сравним аргументы: \( -\frac{\pi}{5} \) и \( -\frac{2\pi}{5} \). Очевидно, что \( -\frac{2\pi}{5} < -\frac{\pi}{5} \).

Шаг 3: Оба аргумента \( -\frac{\pi}{5} \) и \( -\frac{2\pi}{5} \) принадлежат интервалу возрастания \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \) (поскольку \( \frac{2\pi}{5} = 0.4\pi \) и \( \frac{\pi}{2} = 0.5\pi \)).

Так как \( -\frac{2\pi}{5} < -\frac{\pi}{5} \) и функция \( \text{tg}\, x \) возрастает, то \( \text{tg}\, \left( -\frac{2\pi}{5} \right) < \text{tg}\, \left( -\frac{\pi}{5} \right) \).

Следовательно, \( \text{tg}\, \left( -\frac{7\pi}{5} \right) < \text{tg}\, \left( -\frac{\pi}{5} \right) \).

Ответ: \( \text{tg}\, \left( -\frac{\pi}{5} \right) > \text{tg}\, \left( -\frac{7\pi}{5} \right) \).

Шаг 1: Определим, в какие интервалы возрастания попадают числа \( 2 \) и \( 3 \).

Используем приближенные значения: \( \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \), \( \pi \approx 3.14 \), \( \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 \).

• Число \( 2 \) находится в интервале \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \) (при \( n = 1 \)): \( 1.57 < 2 < 4.71 \).
• Число \( 3 \) также находится в интервале \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \): \( 1.57 < 3 < 4.71 \).

Шаг 2: Сравним аргументы. Так как \( 2 < 3 \), и оба числа лежат на одном интервале возрастания \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \).

Шаг 3: По свойству возрастания функции \( \text{tg}\, x \) на этом интервале, если \( 2 < 3 \), то \( \text{tg}\, 2 < \text{tg}\, 3 \).

Ответ: \( \text{tg}\, 2 < \text{tg}\, 3 \).

Шаг 1: Определим, в какой интервал возрастания попадают числа \( 1 \) и \( 1.5 \).

Используем приближенное значение: \( \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \).

• Число \( 1 \) находится в интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \) (при \( n = 0 \)): \( -1.57 < 1 < 1.57 \).
• Число \( 1.5 \) также находится в интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \): \( -1.57 < 1.5 < 1.57 \).

Шаг 2: Сравним аргументы. Так как \( 1 < 1.5 \), и оба числа лежат на одном интервале возрастания \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \).

Шаг 3: По свойству возрастания функции \( \text{tg}\, x \) на этом интервале, если \( 1 < 1.5 \), то \( \text{tg}\, 1 < \text{tg}\, 1.5 \).

Ответ: \( \text{tg}\, 1 < \text{tg}\, 1.5 \).