ГДЗ: Упражнение 739 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Решаем уравнение \( \text{tg}\, x = 3 \).

Общее решение: \( x = \text{arctg}\, 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем корни, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \).

Так как \( 0 < \text{arctg}\, 3 < \frac{\pi}{2} \) (поскольку \( 0 < 3 < \infty \)), то:

• При \( n = 0 \): \( x_1 = \text{arctg}\, 3 \). Корень подходит.
• При \( n = 1 \): \( x_2 = \text{arctg}\, 3 + \pi \). Так как \( 0 < \text{arctg}\, 3 < \frac{\pi}{2} \), то \( \pi < x_2 < \frac{3\pi}{2} \). Корень подходит.
• При \( n = 2 \): \( x_3 = \text{arctg}\, 3 + 2\pi \). Так как \( 2\pi < x_3 < 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} \). Корень подходит.
• При \( n = 3 \): \( x_4 = \text{arctg}\, 3 + 3\pi \). Так как \( x_4 > 3\pi \), корень не подходит.

Ответ: \( \text{arctg}\, 3, \quad \pi + \text{arctg}\, 3, \quad 2\pi + \text{arctg}\, 3 \).

Шаг 1: Решаем уравнение \( \text{tg}\, x = -2 \).

Общее решение: \( x = \text{arctg}\, (-2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем корни, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \).

Так как \( -\frac{\pi}{2} < \text{arctg}\, (-2) < 0 \) (поскольку \( -\infty < -2 < 0 \)), то:

• При \( n = 0 \): \( x_1 = \text{arctg}\, (-2) \). Так как \( x_1 < 0 \), корень не подходит.
• При \( n = 1 \): \( x_2 = \text{arctg}\, (-2) + \pi \). Так как \( \frac{\pi}{2} < x_2 < \pi \). Корень подходит.
• При \( n = 2 \): \( x_3 = \text{arctg}\, (-2) + 2\pi \). Так как \( \frac{3\pi}{2} < x_3 < 2\pi \). Корень подходит.
• При \( n = 3 \): \( x_4 = \text{arctg}\, (-2) + 3\pi \). Так как \( \frac{5\pi}{2} < x_4 < 3\pi \). Корень подходит.
• При \( n = 4 \): \( x_5 = \text{arctg}\, (-2) + 4\pi \). Так как \( x_5 > 3\pi \), корень не подходит.

Ответ: \( \pi + \text{arctg}\, (-2), \quad 2\pi + \text{arctg}\, (-2), \quad 3\pi + \text{arctg}\, (-2) \).