ГДЗ: Упражнение 737 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Решаем неравенство \( \text{tg}\, x \ge 1 \).

Функция \( y = \text{tg}\, x \) возрастает. Общее решение находится на интервалах, где тангенс больше или равен \( 1 \):

\( \frac{\pi}{4} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Обратите внимание, что в точке \( \frac{\pi}{2} + \pi n \) тангенс не определен, поэтому интервал открытый.

Шаг 2: Отбираем решения, принадлежащие промежутку \( (-\pi; 2\pi) \).

• При \( n = -1 \): \( \frac{\pi}{4} - \pi \le x < \frac{\pi}{2} - \pi \implies -\frac{3\pi}{4} \le x < -\frac{\pi}{2} \). Пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \([-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{2}) \).
• При \( n = 0 \): \( \frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2} \). Пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \([\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) \).
• При \( n = 1 \): \( \frac{\pi}{4} + \pi \le x < \frac{\pi}{2} + \pi \implies \frac{5\pi}{4} \le x < \frac{3\pi}{2} \). Пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \([\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}) \).
• При \( n = 2 \): \( \frac{9\pi}{4} \le x < \frac{5\pi}{2} \). Так как \( \frac{9\pi}{4} = 2.25\pi > 2\pi \), решений нет.
• При \( n = -2 \): \( \frac{\pi}{4} - 2\pi \le x < \frac{\pi}{2} - 2\pi \implies -\frac{7\pi}{4} \le x < -\frac{3\pi}{2} \). Так как \( -\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi \) и \( -\pi = -1\pi \), то \( -\frac{3\pi}{2} < -\pi \), решений в \((-\pi; 2\pi)\) нет.

Ответ: \( \left[ -\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{2} \right) \cup \left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right) \cup \left[ \frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right) \).

Шаг 1: Решаем неравенство \( \text{tg}\, x < \sqrt{3} \).

Функция \( y = \text{tg}\, x \) возрастает. Общее решение находится на интервалах, где тангенс меньше \( \sqrt{3} \):

\( -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем решения, принадлежащие промежутку \( (-\pi; 2\pi) \).

• При \( n = 0 \): \( -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{3} \). Пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \( (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3}) \).
• При \( n = 1 \): \( -\frac{\pi}{2} + \pi < x < \frac{\pi}{3} + \pi \implies \frac{\pi}{2} < x < \frac{4\pi}{3} \). Пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \( (\frac{\pi}{2}; \frac{4\pi}{3}) \).
• При \( n = 2 \): \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi \implies \frac{3\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{3} \). Пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \( (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \) (так как \( \frac{7\pi}{3} = 2.33\pi > 2\pi \) и \( 2\pi \) — граница промежутка, а \( \frac{3\pi}{2} = 1.5\pi < 2\pi \)).
• При \( n = -1 \): \( -\frac{\pi}{2} - \pi < x < \frac{\pi}{3} - \pi \implies -\frac{3\pi}{2} < x < -\frac{2\pi}{3} \). Пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \( (-\pi; -\frac{2\pi}{3}) \) (так как \( -\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi < -\pi \)).

Объединение: \( (-\pi; -\frac{2\pi}{3}) \cup (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{\pi}{2}; \frac{4\pi}{3}) \cup (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \).

Ответ: \( \left( -\pi; -\frac{2\pi}{3} \right) \cup \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2}; \frac{4\pi}{3} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \).

Шаг 1: Решаем неравенство \( \text{tg}\, x < -1 \).

Общее решение: \( -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем решения, принадлежащие промежутку \( (-\pi; 2\pi) \).

• При \( n = 0 \): \( -\frac{\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{4} \). Пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \( (-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}) \).
• При \( n = 1 \): \( -\frac{\pi}{2} + \pi < x < -\frac{\pi}{4} + \pi \implies \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4} \). Пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \( (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}) \).
• При \( n = 2 \): \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi < x < -\frac{\pi}{4} + 2\pi \implies \frac{3\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{4} \). Пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \( (\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4}) \).
• При \( n = -1 \): \( -\frac{\pi}{2} - \pi < x < -\frac{\pi}{4} - \pi \implies -\frac{3\pi}{2} < x < -\frac{5\pi}{4} \). Так как \( -\frac{5\pi}{4} = -1.25\pi < -\pi \), решений в \((-\pi; 2\pi)\) нет.

Ответ: \( \left( -\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4} \right) \).

Шаг 1: Решаем неравенство \( \text{tg}\, x > -\sqrt{3} \).

Общее решение: \( -\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем решения, принадлежащие промежутку \( (-\pi; 2\pi) \).

• При \( n = 0 \): \( -\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2} \). Пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \( (-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}) \).
• При \( n = 1 \): \( -\frac{\pi}{3} + \pi < x < \frac{\pi}{2} + \pi \implies \frac{2\pi}{3} < x < \frac{3\pi}{2} \). Пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \( (\frac{2\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}) \).
• При \( n = 2 \): \( -\frac{\pi}{3} + 2\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi \implies \frac{5\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{2} \). Пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \( (\frac{5\pi}{3}; 2\pi) \) (так как \( \frac{5\pi}{2} = 2.5\pi > 2\pi \)).
• При \( n = -1 \): \( -\frac{\pi}{3} - \pi < x < \frac{\pi}{2} - \pi \implies -\frac{4\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{2} \). Так как \( -\frac{4\pi}{3} = -1.33\pi < -\pi \), пересечение с \( (-\pi; 2\pi) \) дает \( (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \).

Объединение: \( (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{2\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{5\pi}{3}; 2\pi) \).

Ответ: \( \left( -\pi; -\frac{\pi}{2} \right) \cup \left( -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{2\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{5\pi}{3}; 2\pi \right) \).