ГДЗ: Упражнение 741 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Решаем неравенство \( \text{tg}\, x \ge 3 \).

Общее решение: \( \text{arctg}\, 3 + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем решения, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \).

Пусть \( \alpha = \text{arctg}\, 3 \), где \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).

• При \( n = 0 \): \( \alpha \le x < \frac{\pi}{2} \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( [\alpha; \frac{\pi}{2}) \).
• При \( n = 1 \): \( \pi + \alpha \le x < \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( [\pi + \alpha; \frac{3\pi}{2}) \).
• При \( n = 2 \): \( 2\pi + \alpha \le x < 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( [2\pi + \alpha; \frac{5\pi}{2}) \).
• При \( n = 3 \): \( 3\pi + \alpha \le x < \frac{7\pi}{2} \). Так как \( 3\pi + \alpha > 3\pi \), решений нет.
• При \( n = -1 \): \( -\pi + \alpha \le x < -\frac{\pi}{2} \). Так как \( -\pi + \alpha < 0 \), решений в \( [0; 3\pi] \) нет.

Ответ: \( \left[ \text{arctg}\, 3; \frac{\pi}{2} \right) \cup \left[ \pi + \text{arctg}\, 3; \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left[ 2\pi + \text{arctg}\, 3; \frac{5\pi}{2} \right) \).

Шаг 1: Решаем неравенство \( \text{tg}\, x < 4 \).

Общее решение: \( -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \text{arctg}\, 4 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем решения, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \).

Пусть \( \beta = \text{arctg}\, 4 \), где \( 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \).

• При \( n = 0 \): \( -\frac{\pi}{2} < x < \beta \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( [0; \beta) \).
• При \( n = 1 \): \( \frac{\pi}{2} < x < \pi + \beta \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( (\frac{\pi}{2}; \pi + \beta) \).
• При \( n = 2 \): \( \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi + \beta \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( (\frac{3\pi}{2}; 2\pi + \beta) \).
• При \( n = 3 \): \( \frac{5\pi}{2} < x < 3\pi + \beta \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( (\frac{5\pi}{2}; 3\pi] \) (так как \( 3\pi + \beta > 3\pi \)).
• При \( n = -1 \): \( -\frac{3\pi}{2} < x < -\pi + \beta \). Так как \( -\pi + \beta < 0 \), решений в \( [0; 3\pi] \) нет.

Объединение: \( [0; \beta) \cup (\frac{\pi}{2}; \pi + \beta) \cup (\frac{3\pi}{2}; 2\pi + \beta) \cup (\frac{5\pi}{2}; 3\pi] \).

Ответ: \( \left[ 0; \text{arctg}\, 4 \right) \cup \left( \frac{\pi}{2}; \pi + \text{arctg}\, 4 \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi + \text{arctg}\, 4 \right) \cup \left( \frac{5\pi}{2}; 3\pi \right] \).

Шаг 1: Решаем неравенство \( \text{tg}\, x \le -4 \).

Общее решение: \( -\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le \text{arctg}\, (-4) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем решения, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \).

Пусть \( \gamma = \text{arctg}\, (-4) \), где \( -\frac{\pi}{2} < \gamma < 0 \).

• При \( n = 1 \): \( -\frac{\pi}{2} + \pi < x \le \gamma + \pi \implies \frac{\pi}{2} < x \le \pi + \gamma \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( (\frac{\pi}{2}; \pi + \gamma] \).
• При \( n = 2 \): \( \frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi + \gamma \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( (\frac{3\pi}{2}; 2\pi + \gamma] \).
• При \( n = 3 \): \( \frac{5\pi}{2} < x \le 3\pi + \gamma \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( (\frac{5\pi}{2}; 3\pi] \) (так как \( 3\pi + \gamma < 3\pi \)).
• При \( n = 0 \): \( -\frac{\pi}{2} < x \le \gamma \). Так как \( \gamma < 0 \), решений в \( [0; 3\pi] \) нет.

Ответ: \( \left( \frac{\pi}{2}; \pi + \text{arctg}\, (-4) \right] \cup \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi + \text{arctg}\, (-4) \right] \cup \left( \frac{5\pi}{2}; 3\pi \right] \).

Шаг 1: Решаем неравенство \( \text{tg}\, x > -3 \).

Общее решение: \( \text{arctg}\, (-3) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем решения, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \).

Пусть \( \delta = \text{arctg}\, (-3) \), где \( -\frac{\pi}{2} < \delta < 0 \).

• При \( n = 1 \): \( \pi + \delta < x < \frac{3\pi}{2} \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( (\pi + \delta; \frac{3\pi}{2}) \).
• При \( n = 2 \): \( 2\pi + \delta < x < \frac{5\pi}{2} \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( (2\pi + \delta; \frac{5\pi}{2}) \).
• При \( n = 3 \): \( 3\pi + \delta < x < \frac{7\pi}{2} \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( (3\pi + \delta; 3\pi] \). Так как \( 3\pi + \delta < 3\pi \), этот интервал входит в отрезок.
• При \( n = 0 \): \( \delta < x < \frac{\pi}{2} \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) дает \( [0; \frac{\pi}{2}) \) (так как \( \delta < 0 \)).

Объединение: \( [0; \frac{\pi}{2}) \cup (\pi + \delta; \frac{3\pi}{2}) \cup (2\pi + \delta; \frac{5\pi}{2}) \cup (3\pi + \delta; 3\pi] \).

Ответ: \( \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \pi + \text{arctg}\, (-3); \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( 2\pi + \text{arctg}\, (-3); \frac{5\pi}{2} \right) \cup \left( 3\pi + \text{arctg}\, (-3); 3\pi \right] \).