ГДЗ: Упражнение 747 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Используя тождество \( \text{tg}\, x \cdot \text{ctg}\, x = 1 \).

Однако, необходимо учесть Область Определения (ОДЗ) произведения:

• Для \( \text{tg}\, x \): \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n \).
• Для \( \text{ctg}\, x \): \( x \ne \pi k \).

ОДЗ: \( x \ne \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Построение графика: График представляет собой прямую \( y = 1 \) с выколотыми точками при \( x = \frac{\pi n}{2} \) (т.е. \( ... -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi ... \)).

Свойства:

• Функция четная.
• Область значений: \( E(y) = \left\{ 1 \right\} \).
• Функция постоянна и равна \( 1 \) на своей области определения.

Пояснение: Используем тождество \( \text{ctg}\, x = \frac{\cos x}{\sin x} \).

\( y = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \).

ОДЗ: \( \text{ctg}\, x \) требует \( \sin x \ne 0 \), т.е. \( x \ne \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

При соблюдении ОДЗ, функция упрощается до \( y = \cos x \).

Построение графика: График представляет собой волну \( y = \cos x \), но с выколотыми точками при \( x = \pi n \) (т.е. \( ... -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi ... \)). В этих точках \( \cos(\pi n) = \pm 1 \).

Свойства:

• Функция четная.
• Период \( T = 2\pi \).
• Область значений: \( E(y) = [-1; 1] \setminus \left\{ -1, 1 \right\} = (-1; 1) \) (так как значения \( -1 \) и \( 1 \) выколоты).