ГДЗ: Упражнение 743 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Решаем неравенство \( \text{tg}\, 2x \le 1 \).

\( -\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x \le \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Общее решение: \( -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем решения, принадлежащие промежутку \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \).

• При \( n = 0 \): \( -\frac{\pi}{4} < x \le \frac{\pi}{8} \). Пересечение с \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \) дает \( (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{8}] \).
• При \( n = 1 \): \( -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} \implies \frac{\pi}{4} < x \le \frac{5\pi}{8} \). Пересечение с \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \) дает \( (\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{8}] \).
• При \( n = 2 \): \( -\frac{\pi}{4} + \pi < x \le \frac{\pi}{8} + \pi \implies \frac{3\pi}{4} < x \le \frac{9\pi}{8} \). Пересечение с \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \) дает \( (\frac{3\pi}{4}; \pi) \) (так как \( \frac{9\pi}{8} > \pi \)).
• При \( n = -1 \): \( -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2} \implies -\frac{3\pi}{4} < x \le -\frac{3\pi}{8} \). Пересечение с \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \) дает \( (-\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{8}] \) (так как \( -\frac{3\pi}{4} < -\frac{\pi}{2} \)).

Ответ: \( \left( -\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{8} \right] \cup \left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{8} \right] \cup \left( \frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{8} \right] \cup \left( \frac{3\pi}{4}; \pi \right) \).

Шаг 1: Решаем неравенство \( \text{tg}\, 3x \ge -\sqrt{3} \).

\( \text{arctg}\, (-\sqrt{3}) + \pi n \le 3x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

\( -\frac{\pi}{3} + \pi n \le 3x < \frac{\pi}{2} + \pi n \).

Общее решение: \( -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \le x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем решения, принадлежащие промежутку \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \).

• При \( n = 0 \): \( -\frac{\pi}{9} \le x < \frac{\pi}{6} \). Пересечение с \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \) дает \( [-\frac{\pi}{9}; \frac{\pi}{6}) \).
• При \( n = 1 \): \( -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} \le x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \implies \frac{2\pi}{9} \le x < \frac{\pi}{2} \). Пересечение с \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \) дает \( [\frac{2\pi}{9}; \frac{\pi}{2}) \).
• При \( n = 2 \): \( -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} \le x < \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} \implies \frac{5\pi}{9} \le x < \frac{5\pi}{6} \). Пересечение с \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \) дает \( [\frac{5\pi}{9}; \frac{5\pi}{6}) \).
• При \( n = 3 \): \( -\frac{\pi}{9} + \pi \le x < \frac{\pi}{6} + \pi \implies \frac{8\pi}{9} \le x < \frac{7\pi}{6} \). Пересечение с \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \) дает \( [\frac{8\pi}{9}; \pi) \) (так как \( \frac{7\pi}{6} > \pi \)).
• При \( n = -1 \): \( -\frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{3} \le x < \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \implies -\frac{4\pi}{9} \le x < -\frac{\pi}{6} \). Пересечение с \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \) дает \( [-\frac{4\pi}{9}; -\frac{\pi}{6}) \).
• При \( n = -2 \): \( -\frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} \le x < \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} \implies -\frac{7\pi}{9} \le x < -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} \). Пересечение с \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \) дает \( (-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}) \) - пусто. Так как левая граница \( -\frac{7\pi}{9} = -0.77..\pi < -0.5\pi \), а правая граница \( -\frac{\pi}{2} \) не включена в интервал. Фактически, пересечение с \( (-\frac{\pi}{2}; \pi) \) пусто, т.к. \( -\frac{7\pi}{9} < -\frac{\pi}{2} \) и \( -\frac{\pi}{2} \) не включена.

Ответ: \( \left[ -\frac{4\pi}{9}; -\frac{\pi}{6} \right) \cup \left[ -\frac{\pi}{9}; \frac{\pi}{6} \right) \cup \left[ \frac{2\pi}{9}; \frac{\pi}{2} \right) \cup \left[ \frac{5\pi}{9}; \frac{5\pi}{6} \right) \cup \left[ \frac{8\pi}{9}; \pi \right) \).