ГДЗ: Упражнение 749 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразуем неравенство:

\( \text{tg}^2 x - 1 < 0 \implies (\text{tg}\, x - 1)(\text{tg}\, x + 1) < 0 \).

Шаг 2: Неравенство выполняется, когда \( -1 < \text{tg}\, x < 1 \).

Шаг 3: Решаем двойное неравенство. Общее решение:

\( \text{arctg}\, (-1) + \pi n < x < \text{arctg}\, 1 + \pi n \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 1: Преобразуем неравенство:

\( \text{tg}^2 x - 3 \ge 0 \implies (\text{tg}\, x - \sqrt{3})(\text{tg}\, x + \sqrt{3}) \ge 0 \).

Шаг 2: Неравенство выполняется, когда \( \text{tg}\, x \le -\sqrt{3} \) или \( \text{tg}\, x \ge \sqrt{3} \).

Шаг 3: Решаем оба неравенства.

• \( \text{tg}\, x \le -\sqrt{3} \implies -\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{3} + \pi n \).
• \( \text{tg}\, x \ge \sqrt{3} \implies \frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n \).

Ответ: \( \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{3} + \pi n \right] \cup \left[ \frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 1: Решаем неравенство \( \text{ctg}\, x \ge -1 \).

Общее решение находится на интервалах, где котангенс больше или равен \( -1 \):

\( \pi n < x \le \text{arcctg}\, (-1) + \pi n \).

Шаг 2: Записываем окончательное решение, подставляя значение \( \text{arcctg}\, (-1) = \pi - \text{arcctg}\, 1 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \).

Ответ: \( \pi n < x \le \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 1: Решаем неравенство \( \text{ctg}\, x > \sqrt{3} \).

Общее решение находится на интервалах, где котангенс больше \( \sqrt{3} \):

\( \pi n < x < \text{arcctg}\, \sqrt{3} + \pi n \).

Шаг 2: Записываем окончательное решение, подставляя значение \( \text{arcctg}\, \sqrt{3} = \frac{\pi}{6} \).

Ответ: \( \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).