Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 42 / Задание 736

ГДЗ: Упражнение 736 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 217, 221, 222
Глава: Глава 7
Параграф: § 42 - Свойства функции y = tg x и её график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

736 упражнение:

Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку \( (-\pi; 2\pi) \):

1) \( \text{tg}\, x = 1 \);

Шаг 1: Решаем уравнение \( \text{tg}\, x = 1 \).

Общее решение: \( x = \text{arctg}\, 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем корни, принадлежащие промежутку \( (-\pi; 2\pi) \).

  • При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} \). Проверим: \( -\pi < -\frac{3\pi}{4} < 2\pi \). Корень подходит.
  • При \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \). Проверим: \( -\pi < \frac{\pi}{4} < 2\pi \). Корень подходит.
  • При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \). Проверим: \( -\pi < \frac{5\pi}{4} < 2\pi \). Корень подходит (так как \( 1.25\pi < 2\pi \)).
  • При \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \). Проверим: \( \frac{9\pi}{4} = 2.25\pi \). Так как \( 2.25\pi > 2\pi \), корень не подходит.

Ответ: \( -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \).

2) \( \text{tg}\, x = \sqrt{3} \);

Шаг 1: Решаем уравнение \( \text{tg}\, x = \sqrt{3} \).

Общее решение: \( x = \text{arctg}\, \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем корни, принадлежащие промежутку \( (-\pi; 2\pi) \).

  • При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3} \). Проверим: \( -\pi < -\frac{2\pi}{3} < 2\pi \). Корень подходит.
  • При \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{3} \). Проверим: \( -\pi < \frac{\pi}{3} < 2\pi \). Корень подходит.
  • При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} \). Проверим: \( -\pi < \frac{4\pi}{3} < 2\pi \). Корень подходит (так как \( 1.33\pi < 2\pi \)).
  • При \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \). Проверим: \( \frac{7\pi}{3} = 2.33\pi \). Так как \( 2.33\pi > 2\pi \), корень не подходит.

Ответ: \( -\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \).

3) \( \text{tg}\, x = -\sqrt{3} \);

Шаг 1: Решаем уравнение \( \text{tg}\, x = -\sqrt{3} \).

Общее решение: \( x = \text{arctg}\, (-\sqrt{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем корни, принадлежащие промежутку \( (-\pi; 2\pi) \).

  • При \( n = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{3} \). Проверим: \( -\pi < -\frac{\pi}{3} < 2\pi \). Корень подходит.
  • При \( n = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \). Проверим: \( -\pi < \frac{2\pi}{3} < 2\pi \). Корень подходит.
  • При \( n = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \). Проверим: \( -\pi < \frac{5\pi}{3} < 2\pi \). Корень подходит (так как \( 1.66\pi < 2\pi \)).
  • При \( n = 3 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3} \). Проверим: \( \frac{8\pi}{3} = 2.66\pi \). Так как \( 2.66\pi > 2\pi \), корень не подходит.
  • При \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3} \). Проверим: \( -\frac{4\pi}{3} = -1.33\pi \). Так как \( -1.33\pi < -\pi \), корень не подходит.

Ответ: \( -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \).

4) \( \text{tg}\, x = -1 \).

Шаг 1: Решаем уравнение \( \text{tg}\, x = -1 \).

Общее решение: \( x = \text{arctg}\, (-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем корни, принадлежащие промежутку \( (-\pi; 2\pi) \).

  • При \( n = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{4} \). Проверим: \( -\pi < -\frac{\pi}{4} < 2\pi \). Корень подходит.
  • При \( n = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \). Проверим: \( -\pi < \frac{3\pi}{4} < 2\pi \). Корень подходит.
  • При \( n = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \). Проверим: \( -\pi < \frac{7\pi}{4} < 2\pi \). Корень подходит (так как \( 1.75\pi < 2\pi \)).
  • При \( n = 3 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4} \). Проверим: \( \frac{11\pi}{4} = 2.75\pi \). Так как \( 2.75\pi > 2\pi \), корень не подходит.
  • При \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4} \). Проверим: \( -\frac{5\pi}{4} = -1.25\pi \). Так как \( -1.25\pi < -\pi \), корень не подходит.

Ответ: \( -\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \).

Что применять при решении

Область определения функции тангенса
Функция тангенса \( y = \text{tg}\, x \) определена для всех действительных чисел, кроме тех, где косинус равен нулю, т.е. для \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
\( D(\text{tg}\, x) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \right\} \)
Периодичность функции тангенса
Функция тангенса является периодической с основным периодом \( T = \pi \). Это означает, что \( \text{tg}(x + \pi n) = \text{tg}\, x \) для любого целого числа \( n \).
\( \text{tg}(x + \pi) = \text{tg}\, x \)
Нечетность функции тангенса
Функция тангенса является нечетной, что означает симметрию ее графика относительно начала координат. \( \text{tg}(-x) = -\text{tg}\, x \).
\( \text{tg}(-x) = -\text{tg}\, x \)
Возрастание функции тангенса
Функция тангенса \( y = \text{tg}\, x \) возрастает на каждом интервале, входящем в ее область определения, т.е. на интервалах вида \( \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z} \).
Решение простейших тригонометрических уравнений с тангенсом
Уравнение \( \text{tg}\, x = a \) имеет решение \( x = \text{arctg}\, a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
\( \text{tg}\, x = a \implies x = \text{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 42

733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.