Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 42 / Задание 745

ГДЗ: Упражнение 745 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 217, 221, 222
Глава: Глава 7
Параграф: § 42 - Свойства функции y = tg x и её график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

745 упражнение:

Найти множество значений функции \( y = \text{tg}\, x \), если \( x \) принадлежит промежутку:

1) \( \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right] \);

Пояснение: Промежуток \( \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right] \) полностью содержится в интервале возрастания \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \).

Так как функция \( y = \text{tg}\, x \) возрастает на этом промежутке, ее множество значений (образ отрезка) будет \([ \text{tg}\, (-\frac{\pi}{4}); \text{tg}\, (\frac{\pi}{3}) ] \).

\( \text{tg}\, (-\frac{\pi}{4}) = -\text{tg}\, \frac{\pi}{4} = -1 \).

\( \text{tg}\, \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).

Ответ: \( [ -1; \sqrt{3} ] \).

2) \( \left[ \frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right) \);

Пояснение: Промежуток \( \left[ \frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right) \) является частью интервала возрастания \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \).

Так как функция \( y = \text{tg}\, x \) возрастает на этом промежутке, ее множество значений будет \([ \text{tg}\, (\frac{3\pi}{4}); \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}^-} \text{tg}\, x ) \).

  • \( \text{tg}\, \frac{3\pi}{4} = \text{tg}\, (\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}\, \frac{\pi}{4} = -1 \).
  • При \( x \to \frac{3\pi}{2}^- \), \( \text{tg}\, x \to +\infty \).

Ответ: \( [ -1; +\infty ) \).

3) \( (0; \pi) \);

Пояснение: Промежуток \( (0; \pi) \) содержит точку разрыва \( x = \frac{\pi}{2} \).

Множество значений на \( (0; \frac{\pi}{2}) \) равно \( (\text{tg}\, 0; \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \text{tg}\, x) = (0; +\infty) \).

Множество значений на \( (\frac{\pi}{2}; \pi) \) равно \( (\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \text{tg}\, x; \text{tg}\, \pi) = (-\infty; 0) \).

Объединение этих множеств дает \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \), что равно \( \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\} \).

Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \), или \( \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\} \).

4) \( \left[ \frac{3\pi}{4}; \frac{7\pi}{4} \right] \).

Пояснение: Промежуток \( \left[ \frac{3\pi}{4}; \frac{7\pi}{4} \right] \) содержит точку разрыва \( x = \frac{3\pi}{2} \) (так как \( \frac{3\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} \)).

Множество значений на \( [\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}) \) равно \( [\text{tg}\, \frac{3\pi}{4}; \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}^-} \text{tg}\, x) = [-1; +\infty) \) (см. п. 2).

Множество значений на \( (\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4}] \) равно \( (\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}^+} \text{tg}\, x; \text{tg}\, \frac{7\pi}{4}] \).

  • \( \text{tg}\, \frac{7\pi}{4} = \text{tg}\, (2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}\, \frac{\pi}{4} = -1 \).
  • При \( x \to \frac{3\pi}{2}^+ \), \( \text{tg}\, x \to -\infty \).

Множество значений на \( (\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4}] \) равно \( (-\infty; -1] \).

Объединение этих множеств: \( [-1; +\infty) \cup (-\infty; -1] = (-\infty; +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty; +\infty) \).

Что применять при решении

Область определения функции тангенса
Функция тангенса \( y = \text{tg}\, x \) определена для всех действительных чисел, кроме тех, где косинус равен нулю, т.е. для \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
\( D(\text{tg}\, x) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \right\} \)
Периодичность функции тангенса
Функция тангенса является периодической с основным периодом \( T = \pi \). Это означает, что \( \text{tg}(x + \pi n) = \text{tg}\, x \) для любого целого числа \( n \).
\( \text{tg}(x + \pi) = \text{tg}\, x \)
Нечетность функции тангенса
Функция тангенса является нечетной, что означает симметрию ее графика относительно начала координат. \( \text{tg}(-x) = -\text{tg}\, x \).
\( \text{tg}(-x) = -\text{tg}\, x \)
Возрастание функции тангенса
Функция тангенса \( y = \text{tg}\, x \) возрастает на каждом интервале, входящем в ее область определения, т.е. на интервалах вида \( \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z} \).
Решение простейших тригонометрических уравнений с тангенсом
Уравнение \( \text{tg}\, x = a \) имеет решение \( x = \text{arctg}\, a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
\( \text{tg}\, x = a \implies x = \text{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 42

733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.