ГДЗ: Упражнение 804 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Анализ и построение графика функции \( y = 3 (x - 2)^2 + 1 \)

• Данная функция является квадратичной функцией, графиком которой служит парабола. Это преобразование базовой параболы \( y = x^2 \).

• Вершина параболы: Сдвиг на 2 единицы вправо (из-за \( (x - 2)^2 \)) и на 1 единицу вверх (из-за \( + 1 \)). Таким образом, вершина параболы находится в точке \( V(2; 1) \).

• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент \( a = 3 > 0 \). Коэффициент \( 3 \) растягивает график по вертикали.

• Несколько опорных точек:
  \( x = 1: y = 3(1 - 2)^2 + 1 = 3(-1)^2 + 1 = 3(1) + 1 = 4 \). Точка \((1; 4)\).
  \( x = 3: y = 3(3 - 2)^2 + 1 = 3(1)^2 + 1 = 4 \). Точка \((3; 4)\).
  \( x = 0: y = 3(0 - 2)^2 + 1 = 3(4) + 1 = 13 \). Точка \((0; 13)\).

Шаг 2: Нахождение производной функции \( y' \)

• Используем правило дифференцирования сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \) и правила для суммы и константы.

• Функция: \( y = 3 (x - 2)^2 + 1 \).
  Производная: \( y' = \left( 3 (x - 2)^2 + 1 \right)' \).

• Производная константы \( (1)' = 0 \).

• Производная первого слагаемого: \( \left( 3 (x - 2)^2 \right)' = 3 \left( (x - 2)^2 \right)' \).
  Применяем цепное правило, где внешняя функция \( f(u) = u^2 \) и внутренняя \( u = g(x) = x - 2 \).
  \( \left( (x - 2)^2 \right)' = 2 (x - 2)^{2-1} \cdot (x - 2)' \).

• Находим производную внутренней функции: \( (x - 2)' = (x)' - (2)' = 1 - 0 = 1 \).

• Подставляем: \( y' = 3 \cdot 2 (x - 2) \cdot 1 + 0 = 6(x - 2) = 6x - 12 \).

• Производная функция: \( y' = 6x - 12 \).

Шаг 3: Анализ и построение графика функции \( y' = 6x - 12 \)

• Производная функция является линейной функцией, графиком которой служит прямая линия.

• Для построения прямой достаточно двух точек.
  При \( x = 0: y' = 6(0) - 12 = -12 \). Точка \((0; -12)\).
  При \( y' = 0: 6x - 12 = 0 \implies 6x = 12 \implies x = 2 \). Точка \((2; 0)\). (Это корень производной, соответствующий вершине параболы).

Ответ: График функции \( y = 3 (x - 2)^2 + 1 \) - парабола с вершиной в \( (2; 1) \). График производной \( y' = 6x - 12 \) - прямая линия, проходящая через точки \( (0; -12) \) и \( (2; 0) \).