ГДЗ: Упражнение 805 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Нахождение производной функции \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x^3} \)

• Шаг 1: Представим функцию в виде суммы степенных функций:
  \( f(x) = x^2 + x^{-3} \). (Используем свойство \( \frac{1}{a^n} = a^{-n} \)).

• Шаг 2: Находим производную суммы: \( f'(x) = (x^2)' + (x^{-3})' \).

• Шаг 3: Используем правило производной степенной функции \( (x^n)' = n x^{n-1} \).
  \( (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x \).
  \( (x^{-3})' = -3 x^{-3-1} = -3x^{-4} \).

• Шаг 4: Записываем результат и упрощаем, возвращая отрицательную степень в знаменатель:
  \( f'(x) = 2x - 3x^{-4} = 2x - \frac{3}{x^4} \).

Ответ: Производная функции \( x^2 + \frac{1}{x^3} \) равна \( 2x - \frac{3}{x^4} \).

Нахождение производной функции \( f(x) = x^3 + \frac{1}{x^2} \)

• Шаг 1: Представим функцию в виде: \( f(x) = x^3 + x^{-2} \).

• Шаг 2: Находим производную суммы: \( f'(x) = (x^3)' + (x^{-2})' \).

• Шаг 3: Используем правило \( (x^n)' = n x^{n-1} \).
  \( (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2 \).
  \( (x^{-2})' = -2 x^{-2-1} = -2x^{-3} \).

• Шаг 4: Записываем результат:
  \( f'(x) = 3x^2 - 2x^{-3} = 3x^2 - \frac{2}{x^3} \).

Ответ: Производная функции \( x^3 + \frac{1}{x^2} \) равна \( 3x^2 - \frac{2}{x^3} \).

Нахождение производной функции \( f(x) = 2\sqrt[4]{x} - \sqrt{x} \)

• Шаг 1: Представим функцию в виде степеней с дробными показателями:
  \( f(x) = 2 x^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{2}} \). (Используем \( \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} \)).

• Шаг 2: Находим производную разности: \( f'(x) = (2 x^{\frac{1}{4}})' - (x^{\frac{1}{2}})' \).

• Шаг 3: Используем правило \( (c x^n)' = c n x^{n-1} \).
  \( \left( 2 x^{\frac{1}{4}} \right)' = 2 \cdot \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{3}{4}} \).
  \( \left( x^{\frac{1}{2}} \right)' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \).

• Шаг 4: Записываем результат и упрощаем, возвращая корни и положительные степени:
  \( f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{3}{4}} - \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt[4]{x^3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Ответ: Производная функции \( 2\sqrt[4]{x} - \sqrt{x} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt[4]{x^3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Нахождение производной функции \( f(x) = 3\sqrt[4]{x} + 7 \sqrt[4]{x} \)

• Шаг 1: Упростим функцию, сложив подобные слагаемые:
  \( f(x) = (3 + 7) \sqrt[4]{x} = 10 \sqrt[4]{x} \).

• Шаг 2: Представим функцию в виде степенной функции:
  \( f(x) = 10 x^{\frac{1}{4}} \).

• Шаг 3: Находим производную: \( f'(x) = \left( 10 x^{\frac{1}{4}} \right)' \).

• Шаг 4: Используем правило \( (c x^n)' = c n x^{n-1} \).
  \( f'(x) = 10 \cdot \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{10}{4} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{5}{2} x^{-\frac{3}{4}} \).

• Шаг 5: Записываем результат с помощью корней:
  \( f'(x) = \frac{5}{2 x^{\frac{3}{4}}} = \frac{5}{2\sqrt[4]{x^3}} \).

Ответ: Производная функции \( 3\sqrt[4]{x} + 7 \sqrt[4]{x} \) равна \( \frac{5}{2\sqrt[4]{x^3}} \).